函数的方案选择问题教案

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1、§19．2．2专题:一次函数应用(一)教学目标:利用一次函数知识解决相关实际问题．教学重点:灵活运用知识解决相关问题．教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题．教学过程:I提出问题，创设情境我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.II导入新课：下面我们来学习一次函数的应用．例1小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟

2、．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．解：y=我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．例2Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？思考方法：从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．通过分

3、析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：若设Ａ──Ｃx吨，则：由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．那么，各运输费用为：Ａ──Ｃ20xＡ──Ｄ25（200-x）Ｂ──Ｃ15（240-x）Ｂ──Ｄ24（60+x）若总运输费用为y的话，y与x关系为：y=20x+25（200-x）+15（2

4、40-x）+24（60+x）．化简得：y=40x+10040（0≤x≤200）．由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？解题方法与思路不变，只是过程有所不同：Ａ──Ｃx吨Ａ──Ｄ300-x吨Ｂ──Ｃ240-x吨Ｂ──Ｄx-40吨反映总运费y与x的函数关系式为：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．化简：y=4x+10140（40≤x≤300）．由解析式可知：当x

5、=40时y值最小为：y=4×40+10140=10300因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．解后小结:解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚

6、才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．Ⅲ课堂练习从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．解答：设总调运量为y万吨·千米，Ａ水库调往甲地水x万吨，则调往乙地（14-x）万吨，Ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）．化简得：y=5x+127

7、5（1≤x≤14）．由解析式可知：当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．因此从Ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地13万吨水；从Ｂ水库调往甲地14万吨水，调往乙地0万吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨·千米．Ⅳ．课堂小结本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．．