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《高等代数课件(北大三版)-第六章向量空间》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6章向量空间6.1向量空间的定义和例子6.2子空间6.3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间数学研究理想结构(突出应用于实际问题),并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。---皮尔斯(S. Peirce,1838-1914)不懂几何者勿入内(指:柏拉图学园)---柏拉图(Plato,约公元前427年-前347年)不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门---匿名者惠州学院数学系向量空间(VectorSpaces)又称线性空间(LinearSpaces).本章的特点及要求:向量空间是线性代数的最基本
2、的、最重要的概念之一,是进一步学习数学必备的内容.向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性非常组解的结构.向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系统,就是带有运算的集合.通过本章的学习,初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.惠州学院数学系§6.1向量空间的定义和例子引例―――定义产生的背景.向量空间的定义――――抽象出的数学本质.进一步的例子―――加深对定义的理解.一些简单性质.惠州学院数学系1.引例―――定义产生的背景例1设F是一个数域,表示上m×n矩阵的集合,回忆一下上所能够施
3、行的运算(教材P182):只有加法和数乘两种,并且满足(教材P183):A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)O+A=AA+(-A)=Oa(A+B)=aA+Ab(a+b)B=aB+Bb(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的:8.1A=A惠州学院数学系例2设R是实数域,V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个向量,加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的方法,向量可以用的坐标(x,y,z)来表达,加法和数乘都有表达式,……类似的问题许多,……,有必要总结它们的共性:涉及两个集合(其中一个集合……).涉及
4、两种运算(什么样的运算?).满足8条运算性质.惠州学院数学系2.向量空间的定义-抽象出的数学本质定义1设F是一个数域,V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立:闭合性:(c1)V上有(闭合的)加法运算,即:对任意u,v属于V,一定有u+v属于V.(c2)F上的数对V上的向量有(闭合的)数乘运算,即:对任意F中数和V中元素v,一定有:v属于V.加法的性质:(a1)u+v=v+u,对所有u和v属于V.(a2)u+(v+w)=(u+v)+w,对所有u、v和w属于V.(a3)V中存在一个向量,记作o,它满足:v+o=v对所有V中的
5、v.(a4)给定V中每一个向量v,V中存在一个向量u满足:u+v=0.这样的u称为v的负向量.惠州学院数学系乘法的性质:(m1)(m2)(m3)(m4)1u=u对所有u属于V.惠州学院数学系3.进一步的例子――加深定义的理解例3按照定义1,是数域F上的向量空间,称为矩阵空间.(1)统称为n元向量空间,统一用符号表示.(2)是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类.……例4数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间,称为多项式空间.证明:根据多项式加法和数乘的定义,(c1)f(x)+g(x)F[x],任给f(x),g(x)F
6、[x].(c2)f(x)F[x],任给F,f(x)F[x].(a1)f(x)+g(x)=g(x)+f(x),任给f(x),g(x)F[x].惠州学院数学系(a2)[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)],任给f(x),g(x),h(x)F[x].(a3)0向量就是零多项式.(a4)f(x)的负向量为(-f(x)).(m1)f(x)=f(x)).(m2)[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x).(m3)f(x)=f(x)+f(x).(m4)1f(x)=f(x).注1:刚开始,步骤要完整.惠州学院数学系例5C[a,b]表示区间[a,b
7、]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间,称为函数空间.证明: 比照例3,给出完整步骤.例6(1)数域F是F上的向量空间.(2)R是Q上的向量 空间,R是否为C上的向量空间?注2:这个例子说明向量空间与F有关.惠州学院数学系例7设数域取R,集合为R+(实数),加法和数乘定义为:证明关于给定的运算构成R上的向量空间.证明:……注3:运算可以是通常的,可以重新定义的.如何理解运算?……注4:取数乘为通常的乘法如何?……,向量空间与运算有关.注5:证明向量空间需要10条性质,其中:8条是验证,2条需要解方程求出零向量与负向量.惠州学院数学系例8在
8、上定义加法和数乘:证明关于给定运算构成R上的向量空间