解析几何第四版吕林根课后习题答案四至五章

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1、第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、己知柱面的准线为:]（兀_1）2+（y+3）2+（z_2）2=25[x+y-z+2=0且（1）母线平行于兀轴；（2）母线平行于直线z=c，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程(x-l)2+(y+3)2+(z-2)2=25x+y-z+2=0中消去x,得到：（z—y—3）2+（y+3）2+（z—2）2=25即：y2+z2--6y-5z-—=0此即为要求的柱面方程。x=y（2）取准线上一点^。（心旳山。），过且平行于直线彳'的直线方程为:Z=CXq=x-tyo=y-fz=z°z

2、°=z而M（）在准线上，所以J（x-r-l）2+（y-Z+3）2+（z-2）2=25^x+y-z-2/+2=0上式中消去f后得到：x2+y2+3z2-2xy-Sx-^Sy-Sz-26=0此即为要求的柱面方程。「_222、设柱面的准线为X=y+Z,母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。x=2z解:由题意知：母线平行于矢量{1,0,-2}任取准线上一点MoOoJd%），过的母线方程为:z=z°_2f而在准线上，所以:x-t=y2+(z+2f)2x-t=2(z+2/)消去r,得到：4兀2+25y2+z2+4xz—20x-

3、10z=0此即为所求的方程。3、求过三条平行直线x=y=z,x^l=y=z-l^x-l=y+=z-2的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x+y+z=O:它与已知直线的交点为(0,0,0),(-1,0,1),(-,--,-),这三点所定的在平面兀+y+z=O上的圆的圆心为3311B圆的方程为:+(y+x+y+z=0+(占159875此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点Mx(兀

4、,zJ,且方向为{1,1,1}的直线方程为:兀]=x-tZ=Z]+/y=y-t将此式代入准线方程，并消去r得到:5(x2+y2+

5、z2-xy-jz-zr)+2x+1ly-13z=0此即为所求的圆柱面的方程。4、己知柱面的准线为丽=&@),)心“朋(比)},母线的方向平行于矢量s={x,r,z},试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：x=Y(u)+vS与x=x(u)+Xv

6、用分量表达，即：{兀,y,z}={x(w),y(w),z(w)}+v{X,Y,Z}x=x(w)+Xv.・.

7、、已知锥面的顶点为(3-1-2),准线为z?=i,x_y+z=0,试求它的方程。解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：x-3_y+ix-3y+1令它与准线交于(X(),匕，Z()),即存在/,使X。=3+(兀—3)/

8、,r等角，故/的方向数为i：i：i与/垂直的平面之一令为兀+y+z=1平面兀+y+z二1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),该圆的圆心为故该圆的方程为：333191?1927(%)2+(〉,)2+(z)2=()2<3333兀+y+z=1它即为要求圆锥面的准线。对锥而上任一点M(兀,y,z),过M与顶点。的母线为：令它与准线的交点为(X。，岭，Z。)，即存在/,使X(}=xt,Y()=yt,Z()=zt,将它们代入准线方程，并消去/得：xy+yz+zr=0此即为要求的圆锥面

9、的方程。5、求顶点为(1,2,4),轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。X—1v—27—4解：轴线的方程为：—=丄上221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为：2(x—3)+2(y—2)+(z—l)=0即:2x+2y+z—11=0112037该平而与轴的交点为(§,—,