解析几何(第四版吕林)-根课后答案

《解析几何(第四版吕林)-根课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第一章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆AFBEC（3）直线；（4）相距为2的两点2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、O、、、、、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边

2、ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC,则在DBAC中，KLAC.与方向相同；在DDAC中，NMAC.与方向相同，从而KL＝NM且与方向相同，所以＝.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：图1—3(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。§1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1）（2）（3）（4）（5）[解]：（1

3、）所在的直线垂直时有；（2）同向时有（3）且反向时有（4）反向时有（5）同向，且时有§1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简．⑵已知，，求，和．⑶从矢量方程组，解出矢量，．解⑴⑵，，．2已知四边形中，，，对角线、的中点分别为、，求．解．3设，，，证明：、、三点共线．证明∵∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．4在四边形中，，，，证明为梯形．证明∵∴∥，∴为梯形．6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量,,可以构成一个三角形.[证明]：从而三中线矢量构成一个三角形。7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=++.

4、[证明]=由上题结论知：8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+++＝4.图1-5[证明]：因为＝(+),＝(+),所以2＝(+++)所以+++＝4.9在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明．证明．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明已知梯形，两腰中点分别为、，连接、．，，∴，即，故平行且等于．11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点图1-4但由于∥∥而不平行于，，从而OA=OC，OB=OD。12.设点O是平面上正多

5、边形A1A2…An的中心，证明:++…+＝.[证明]：因为＋＝l,＋＝l,……+＝l,＋＝l,所以2(++…+)＝l(++…+),所以(l－2)(++…+)＝.显然l≠2,即l－2≠0.所以++…+＝.13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：证明：即§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线求解：．设边BC和CD的（2）中点M和N，且求。解：2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。证明：，，图1-73.设一直线上三点A,B,P满足＝l(l¹－1),O是空间任意一点，求证：＝[证明]：如图

6、1-7，因为＝－,＝－,所以－＝l(－),(1+l)＝+l,从而＝.4.在中,设.(1)设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：（1），，同理（2）因为＝,且与方向相同，所以＝.由上题结论有＝＝.5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量的分解式。解：是的重心。连接并延长与BC交于P同理CO（1）GP（2）AB（3）（图1）由（1）（2）（3）得即6．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于BM于CN交于，取空间任一

7、点O，则AA同理NMBLC三点重合O三角形三中线共点（图2）（第3页）7．已知矢量不共线，问与是否线性相关？证明：设存在不全为0的，使得即故由已知不共线得与假设矛盾，故不存在不全为0的，使得成立。所以线性无关。8.证明三个矢量＝－+3+2,＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：由于矢量,,不共面，即它们线性无关.考虑表达式l+m+v＝，即l(－+3+2)+m(4－6+2)+v(－3+12＋11)＝,或(－l+4m－3v)+(3l－6m＋12v)+(2l+2m＋11v)＝.由于,