解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

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1、第五章二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A以及，及.（1）；（2）；（3）；（4）（5）.解：（1）；；（2）；；.（3）；；；；（4）；；；；（5）；；；.2.求二次曲线与下列直线的交点.（1）（2）；（3）；（4）；（5）.提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）；（2，；（3）二重点；（4）；（5）无交点.3.求直线与的交点.解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.4.试确定k的值，使得（1）直线与二次曲线交于两不同的实点；（2）直线与二次曲线交于一点；（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；（4

2、）与二次曲线交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）；（2）或（3）或；（4）.§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1.求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）；（2）；（3）.解：（1）由得渐进方向为或且属于抛物型的；（2）由得渐进方向为且属于椭圆型的；（3）由得渐进方向为或且属于双曲型的.2.判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）因为，所以它为中心曲线；（2）因为且，所以它为无心曲线；（3）因为且，所以它为无心曲线；（4）因为且，所以它为线心曲线；3.求下列二次曲线的中心.（1）；（2）；（3）.解：（

3、1）由得中心坐标为；（2）由得中心坐标为；（3）由知无解，所以曲线为无心曲线.4.当满足什么条件时，二次曲线（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：（1）由知，当时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5.试证如果二次曲线有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ=式中为二次曲线的中心.证明：设为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为，所以Φ=.6.求下列二次曲线的渐进线.（1）；（2）；（3）.解：（1）由得中心坐标.而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分别为与（2）由得中心坐

4、标.而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分别为与（3）由知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为.7.试证二次曲线是线心曲线的充要条件是，成为无心曲线的充要条件是.证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是也即；为无心曲线的充要条件是也即.8.证明以直线为渐进线的二次曲线方程总能写成.证明：设以为渐进线的二次曲线为，则它的渐进线为Φ=，其中为曲线的中心，从而有Φ=，而Φ=0因为为曲线的中心，所以有，因此Φ，令，代入上式得即，所以以为渐进线的二次曲线可写为.9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）；（2）通过点（1，

5、1），（2，1），（-1，-2）且以直线为渐进线.解：利用习题8的结论即可得：（1）；（2）.§5.3二次曲线的切线1.求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.（1）曲线在点（2，1）；（2）曲线曲线在点在原点；（3）曲线经过点（-2，-1）；（4）曲线经过点；（5）曲线经过点（0，2）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2.求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线的切线平行于直线；（2）曲线的切线平行于两坐标轴.解：（1），和，；（2），和，.3.求下列二次曲线的奇异点.（1）；（2）；（3）.解：（1）解方程组得奇异点为；（2）解方程组得奇

6、异点为.4.试求经过原点且切直线于点（1，-2）及切直线于点（0，-1）的二次曲线方程.解：利用（5.3-5）可得.5.设有共焦点的曲线族，这里是一个变动的参数，作平行于已知直线的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程.解：设切点坐标为，则由（5.3-4）得曲线的切线为，因为它平行与，所以有，代入整理得，所以切点的轨迹为.§5.4二次曲线的直径1.已知二次曲线.求它的（1）与轴平行的弦的中点轨迹；（2）与轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线平行的弦的中点轨迹.解：（1）因为轴的方向为代入（5.4-3）得中点轨迹方程；（2）因为轴的方向为代入（5.4-3）得中点轨迹方程；（3）

7、因为直线的方向为代入（5.4-3）得中点轨迹方程.2.求曲线通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径.解：（1）把点（8，0）代入得，再代入上式整理得直径方程为，其共轭直径为.3.已知曲线的直径与轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.解：直径方程为，其共轭直径方程为.4.已知抛物线，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分.解：.5.求双曲线一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度.解：设直径和共轭直径的斜率分别为，则.又因为它们交角45度，所以，从而或2，或，故直径和共轭直径的方程为和或和.6.求证：通过中心