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《解析几何第四版吕林根期末复习课后习题(重点)详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、WORD格式可编辑第一章矢量与坐标§1.3数量乘矢量4、设，，，证明：、、三点共线．证明∵∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．6、设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量,,可以构成一个三角形.证明：7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=++.[证明]=由上题结论知：从而三中线矢量构成一个三角形。8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+++＝4.图1-5[证明]：因为＝(+),＝(+),所以2＝(+++)所以+++＝4.10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、
2、下两底边且等于它们长度和的一半．专业技术资料分享WORD格式可编辑证明已知梯形，两腰中点分别为、，连接、．，，∴，即§1.4矢量的线性关系与矢量的分解图1-73.、设一直线上三点A,B,P满足＝l(l¹－1),O是空间任意一点，求证：＝[证明]：如图1-7，因为＝－,＝－,所以－＝l(－),(1+l)＝+l,从而＝.4.、在中,设.(1)设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：（1），，同理（2）因为＝,且与方向相同，所以＝.由上题结论有＝＝.5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于
3、矢量的分解式。专业技术资料分享WORD格式可编辑解：是的重心。连接并延长与BC交于P同理CO（1）GP（2）AB（3）（图1）由（1）（2）（3）得6．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于BM于CN交于，取空间任一点O，则AA同理NMBLC三点重合O三角形三中线共点（图2）即§1.5标架与坐标9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.答A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线
4、段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi,欲证AiGi交于一点(i＝1,2,3,4).在AiGi上取一点Pi，使＝3,从而＝，专业技术资料分享WORD格式可编辑设Ai(xi,yi,zi)(i＝1,2,3,4)，则G1,G2,G3,G4,所以P1(,,)ºP1(,,).同理得P2ºP3ºP4ºP1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.§1.7两矢量的数性积计算下列各题（1）已知等边△的边长为且求；已知两两垂直且求的长和它与
5、的夹角已知与垂直，求的夹角已知问系数取何值时与垂直？解∵∴∵且设∴设与的夹角分别为∴专业技术资料分享WORD格式可编辑∴，，，即，即得：得：∴∴∴∴图1-114.用矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）如图1-21，△ABC中，设＝,＝,＝，且
6、
7、＝a，
8、
9、＝b,
10、
11、＝c.则＝－,2＝(－)2＝2+2－2×＝2+2－2
12、
13、
14、
15、cosA.图1-12此即a2＝b2+c2－2bccosA.(2)如图1-22，设AB,BC边的垂直平分线PD,PE相交于P,D,E,
16、F为AB,BC,CA的中点,设＝,＝,＝,则＝－,＝－,＝－,＝(+),＝(＋).因为^,^,所以(+)(－)＝(2－2)＝0,(+)(－)＝(2－2)＝0,从而有2＝2＝2,即
17、
18、2＝
19、
20、2＝
21、
22、2,所以(＋)(－)＝(2－2)＝0,所以^,且
23、
24、＝
25、
26、＝
27、
28、.故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.专业技术资料分享WORD格式可编辑已知△的三顶点试求：△三边长△三内角三中线长角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量解：，∴∴∴∴∴∴∴∴=﹛﹜∴，，设它的单位矢量为﹛﹜，且∴﹛﹜=﹛﹜§1.8两矢量的失性4.已知:,求与,都垂直,
29、且满足下列条件的矢量:专业技术资料分享WORD格式可编辑为单位矢量,其中.解:设.∵=0∴=0=1由,,:设.∵∴=10由,,得:.4.在直角坐标系内已知三点,试求:三角形的面积三角形的三条高的长.解:,,=,..,,.∴,,.7.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理＝＝.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：D2＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.[证明]：(1)如图1-13，在△ABC中，设＝，＝，＝，且
30、
31、＝a，
32、
33、＝b,
34、
35、＝c,则++＝,从而有´＝´＝´,所以
36、´
37、＝
38、
39、´
40、＝
41、´
42、,bcsinA＝casinB＝absinC,于是＝＝
