高中立体几何直线与平面

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1、问题：空间中直线与平面有几种位置关系？线面位置关系垂直斜交一：复习ab在平面内平行如果一条直线l垂直于平面α内的任意一条直线，我们就说直线l与平面α互相垂直。平面的垂线直线l的垂面垂足记作：lα直线与平面垂直的定义：（2）线面垂直线线垂直三、实验探究得出定理如果直线l与平面α内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面α互相垂直?（1）一条直线（3）两条平行直线（2）无数条直线（4）两条相交直线？猜想：直线l与平面α内的两条相交直线垂直，那么此直线与这个平面垂直。lα4、猜想：若直线与平面α

2、内的两条相交直线都垂直，则.BAαmnaCFDE如何证明这个猜想成立？文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。直线和平面垂直的判定定理：线线垂直　　　线面垂直判定定理性质垂直内相交符号语言：图形语言：随堂练习例1有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？DCBA例2在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：

3、AC⊥BD.ABCDE例3求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：，．求证：．证明：设是内的任意一条直线．定义方法判定练习:已知平面，是⊙的直径，是⊙上的任一点，求证：．练习:已知，于，于，于点，求证：．三垂线定理及逆定理aAPoα一、三线概念:平面的斜线、垂线、射影aAPoα如图PO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.PO平面PAOa⊥PO③二、三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(P

4、O)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥aPA∩AO=A②a⊥平面PAOPaAoα已知:如图,PO为平面α的斜线,PA⊥α,a在平面α内且垂直PO的射影AO.求证:a⊥PO证明:1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间的垂直关系.2、a与PO可以相交，也可以异面.3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.说明：4、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内两直线的垂直问题.aAPoα三、知识运用例1.如图,PD⊥平面ABC,AC

5、=BC,D为AB的中点,求证AB⊥PC.PABCD证明:∵PD⊥平面ABC,∴DC为PC在平面的射影,而△ABC为等腰三角形,D为AB的中点,∴AB⊥CD∴AB⊥PC例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵ABCD是正方形∴AC⊥BD(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1A1D1C1B1ADCB同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1而AC∩

6、AB1=A∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD、A1B在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理ＡＰＯ斜线垂线规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角直线和平面所成角的范围是[0，90]第２个空间角斜线在平面上的射影平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这

7、个平面所成的角斜线和平面所成角(即∠PAO)的范围（00，900）