从《几何原本》中勾股定理的证明说起……

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1、许昌市二中张书阳数学新人教版数学八年级下册《勾股定理》延伸综合课“”模型的全等延伸---从《几何原本》中勾股定理的证明说起……在课题选择上，开始一直纠结讲一节函数（八下这个阶段正处于一次函数讲解阶段），还是一节几何综合。在2017年许昌市二模试卷出来之后，我确定讲几何综合课，因为二模试卷上第22题所选用的是八年级数学一直关注的模型，在《全等三角形》一章中，已经初步领略“类比探究”的奥秘；在《勾股定理》一章中，我们又重温这个最特别的模型；在《平行四边形》一章中，我们又见识了不同多边形的性质。鉴于此，我坚信地认为这里面大有文章可做，大有数学知识可探。于是，我把本节课定位

2、成《勾股定理》延伸综合课，从勾股定理的证明出发走入庞大复杂的类比探究中，期待学生减少一些综合畏惧感。学习目标:1.从熟悉的勾股定理的证明图中抽象出图形模型，并能在此基础上进行多变；2.能善于发现问题，大胆猜测结论，并且加以证明，培养猜测与验证的推理能力；3.通过抽象图形—类比探究—操作发现-灵活应用，提高逻辑思维能力，体验变中不变，动静结合的几何处理方法和类比转化的数学思想；4.了解《几何原本》这一伟大数学史料，激发对数学的探索欲望.学习重点:经历一图多变的过程，培养推理证明能力.学习难点：体验变中不变，动静结合的几何处理方法和类比转化的数学思想.在目标设定上，我一

3、直思考通过这节课我要向学生传递怎样的数学，怎样的思考，所以目标设置稍显生硬，但又具体，体现了众多数学的高端词汇：抽象、模型、多变、猜测、验证、类比、变中不变，动静结合等等，在此目标引导下，我开始为过程的环环设计做出准备。学习过程：一、创设情境初步感知微课欣赏：从《几何原本》中勾股定理的证明说起……微课，对于我来说是个新生事物，我第一次尝试做自己的微课加入自己的课堂里。微课的名字是《从《几何原本》中勾股定理的证明说起……》，把这一段设置为微课，原因有二：一是这并不是本节课的教学目标（不是为了讲欧几里得的勾股定理证法），只用说明，不用研究；二是对于《几何原本》数学史料的

4、介绍，再加上自己的诠释和几何画板的联用，使课程引入稍显轻松，为后面的探究烘托一些愉悦气氛。当然，微课制作有些粗糙，还需锤炼。二、抽象图形类比探究图1（一）抽象图形：若△ABC由直角三角形变成一般三角形,以三角形的两边为边作正方形，会得到这样一个图形：如图1，分别以锐角△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG.问题1：（1）还有类似的全等吗？如何构造？（2）你还有什么发现？并说明理由.图2（二）类比探究：已知△ABC，如图2，分别以AB、AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请自己完成作图过程，并说明BE与CD的数

5、量关系.思考反思：一个一般三角形，取任两边向外作正方形、等边三角形，均可借助图形性质，构造全等三角形，其依据为（三）操作发现：你还有怎样的创作，能得出类似的结论？请在图3上试一试。图3提炼本质：一个一般三角形，取任两边向外作图，只要满足,即可构造全等三角形.图4（四）灵活应用：如图4，已知在△ABC中，AB=2，BC=3,=45°，过点A作EA⊥AC,且满足EA=AC.求BE.整个探究过程分“抽象图形—类比探究—操作发现-灵活应用”四个步骤：1.从勾股定理证明图中做简单调整（把直角三角形变成一般三角形，弱化了对三角形形状的限制，同时减少了一个正方形，此为“一变”）抽

6、象出图模型，对比勾股定理证明图，发现有“类似的全等、类似的线段相等”，引导学生发现全等三角形构造的依据：利用正方形的特殊性，巧妙借助两个三角形全等，进而解决问题；2.接下来，实现一图多变“第二变”，把以三角形两边向外做出的正方形改为等边三角形，引导学生思考反思：一个一般三角形，取任两边向外作正方形、等边三角形，均可借助图形性质，构造全等三角形，其依据为SAS;3.外做正方形和等边三角形能得出类似的结论，那么“你还有怎样的创作，能得出类似的结论？”再次引爆学生思维，进行尽可能多的操作发现：向外作等腰直角三角形、一般等腰三角形（顶角相等）、菱形（两夹角相等）、矩形（不成

7、立，得相似，反例对比更加凸显问题本质）、正五边形、正n边形，到最后：仅作两条线段分别和AB、AC相等，并且夹角相等即可，最终提炼本质：一个一般三角形，取任两边向外作图，只要满足“做的邻边与之相等，且其与邻边的夹角相等”两个条件,即可构造全等三角形.得出结论的同时，展示班级一个超级学生做的“补圆心角相等，半径分别等于AB、AC的扇形”的经典图，还有一个学生做的“左侧五边形、右侧四边形”的特殊例子，引发学生对本质的理解和数学创作的极大兴趣。4.在自由创作之后，学生看到原本最难可以放弃的最后一问时，也大胆搞起了创作，在AB边做了等腰直角三角形，极快又准地创造了本节数学