二次函数最值问题的应用

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1、玉燕中学电子文档教案课题名称：二次函数的最值问题的应用设计者：温清木修改者：类别：【原创】教材版本人教版年级册别九年级上册章节名称二次函数的最值问题的应用授课时间：2017年5月7日第13周星期授课教师温清木授课班级九（11）班教学目标知识技能：能利用二次函数的性质，熟练并掌握二次函数最值问题过程方法：会求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象，利用二次函数的性质，解决函数与圆、三角形、四边形的最值问题。情感态度：通过建立二次函数的数学模型解决二次函数的最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。重点会运用二次函数

2、的性质解决相关的最值问题难点利用二次函数的知识解决函数最值问题的策略进行反思教具多媒体课件主要教学法讨论、练习教学过程一、基础训练：（学生独立完成）在二次函数中：1、与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；2、化为的形式，结果为；顶点为；3、当x时，y有最值，是；4、当x时，y随x增大而减少，当x时，y随x增大而增大设计意图：让学生从练习中回忆二次函数的有关内容，二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握这些性质是学好本节课的前提和基础．二、二次函数最值问题的应用例．如图，已

3、知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，(1)求抛物线的解析式；(2)请用含m的代数式表示MN的长，当m为何值时，MN的值最大，最大值是多少？(3)连接NB，NC，是否存在点N，使△BNC的面积最大？若存在，求N的坐标；若不存在，说明理由．4玉燕中学电子文档教案(4)连接NB，NC，AC是否存在点N，使四边形ABNC的面积最大？若存在，求四边形ABNC的面积最大面积；若不存在，说明理由．解题思路：(1)指导学生通过三点式或交点

4、式，求出抛物线：y＝－x2＋2x＋3(2)要表示出MN，首先要先设N的坐标（m，－m2＋2m＋3）,从而知道出M的横坐标也是m，再通过求出直线BC的解析式：y=－x＋3，表示出M的坐标为（m,m-3），则可表示出MN及求出最大值。MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－)2＋(0＜m＜3)（3）连接CN,BN，S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝MN·OB，∴当MN最大时，△BNC的面积最大，所以当m＝时,此时N(,)，S△BNC最大=×=，（4）S△ABNC=S△ABC＋S△BNCS△ABC=AB·OC=6当△

5、BNC的面积最大，S△ABNC最大，S△ABNC最大=6+=设计意图：二次函数最值问题是每年中考的热点问题，也是每年考生得分较低的题型之一，所以要加强此类问题的训练力度，提高学生对这类问题的分析能力与感知能力题型分析：本题的设计通过求函数表达式来得到N和M的坐标，从而得到线段NM的长，再而进一步求出三角形和四边形的面积的最值问题，设计的目的是让学生体会线段的最值问题和多边形最值问题的联系，并能学以致用！小结：多边形面积的最值问题，最终就是求线段的最值问题三、学以致用：1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和B

6、C所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；4玉燕中学电子文档教案（设计思路：以上三小题均由学生自行交流，讨论，合作，选出代表上台讲解，一方面是进一步加强学生团结协作能力，另一方面，培养学生学会学与教的能力）设计意图：通过以上练

7、习进行加强巩固，让学生进一步体会多边形的最值问题，最终就是求线段的最值问题。四、能力拓展：1．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图像与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C；以直线为对称轴的抛物线（a，b，c为常数，且a＞0）经过A，C两点，与x轴正半轴交于点B．（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。（2）在对称轴上是否存在一点P，使得PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标．（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE。设CD的长为m，PDE的面积为S。求S与

8、m之间的函数关系式。并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由。题型分析：本题属于二次函数与几何图形的一道动态综合题，也属于难题较大的题型，其中涉及到的知识有抛物线的图像性质的相关知