一次函数的图像和性质和研究方法

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1、一次函数中的数学思想回顾　　数学思想是数学知识的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学的重要组成部分．在学习数学的同时，要注意领悟和掌握蕴含在其中的数学思想方法．现将本章的主要数学思想作一归纳，帮助同学们复习．　　一、函数思想　　函数的实质就是运用变化对应的观点去研究两个变量之间的相互关系，灵活运用好函数思想会给解决问题带来很大方便．　　例1　如图1，长方形ABCD中，当点P在边AD上从A向D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化．　　（1）试分别举出变化与不变化的两条线段与两个三角形；　　（2）假设长方形的长AD为10cm，宽A

2、B为4cm，线段AP的长为xcm，分别写出你所列的变化线段PD的长度（y）、△PCD的面积（S）与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．　　析解：（1）当点P在边AD上从A向D移动时，AB、BC、CD的长度始终保持不变，而PA、PB、PC、PD则发生变化；△PBC的面积始终保持不变，△PAB和△PDC的面积发生变化．　　（2）线段PD的长度（y）与x之间的变化关系用到了函数思想，此函数关系式为y=10-x（0≤x≤10）；△PCD的面积S与x之间的变化也是一种函数关系，关系式为S=20-2x（0≤x≤10）．　　二、数形结合思想　　数形结合思想是指将数（量

3、）与形（图）结合起来进行分析、研究、解决问题的策略．　　例2　如图2是某公司一电热水沐浴器水箱的水量y（L）与供水时间x（min）的函数关系．　　（1）求出y与x之间的函数关系式．-4-　　（2）在（1）的条件下求在30min时水箱中有水多少L？　　分析：由图象可知y与x成一次函数关系，设出函数解析式列方程组求解．在此用到了数形结合思想与方程思想．　　（2）求当x=30时的函数值．　　解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由于直线y=kx+b过点（10，50）和点（50，150）．所以．解得．即y=2.5x+25．　　（2）当x=30时，y

4、=2.5×30＋25＝100（Ｌ）．即在30min时水箱中有水100L．　　三、数学建模思想　　数学建模思想是指将实际应用型问题转化成相应的数学问题，通过解决数学问题达到解决实际应用问题的数学思想．　　例3　某学校需刻录一批教学用的VCD光盘，电脑公司刻录每张需9元（包括空白VCD光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白VCD光盘费）．问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？　　分析：解决此类问题通常是先列出函数关系式，然后列出方程或不等式求解，这样需建立相应的数学模型．当然此题还应用了分类讨论思想．　　解：

5、设学校需刻录x张光盘，到电脑公司刻录费用为y1元，学校自刻费用为y2元，根据题意得：　　y1＝９x，y2＝１２０＋４x．　　当y1>y2时，即9x>120+4x，所以x>24；　　当y1＝y2时，即９x=120+4x，所以x=24；　　当y1

6、关系用图象表示为下图中的（　　）　　析解：本题可直接根据题意找出符合条件的图象．由这根蜡烛原长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，可知4小时燃完．再由燃烧时剩下的长度为y（cm），故y应是从20开始逐渐减少至0．故应选B．　　练习1：某市出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元．那么出租车收费y（元）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系用图象表示为（　　）　　二、由形到数　　例2　某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图1所示，则对这种产品来说，下列说法

7、正确的是（　　）　　A．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少　　B．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平　　C．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产0　　D．1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产-4-　　析解：图象反映1月至3月该厂某种产品的总产量逐月匀速上升，每月月产量不变；4、5两月总产量没有增加，就意味着没有生产．故应选D．　　练习2：一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间的关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直

8、步行提前了（　　）　　A