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《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标(一)提高学生对于根的判别式的运用能力； (二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.教学重点和难点 重点：会用根的判别式及根与系数关系解题. 难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.教学设计过程 (一)复习 1.已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0). (1)它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,
2、用△表示) 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.7 反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0；没有实数根时，△＜0) 2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=? (2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立? 3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性
3、质的综合性较强的问题，还需要训练. (二)新课 例1 P为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0 (1)有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根. 分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根7的性质，可使解题过程简单些. 解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0
4、. 由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程. 例2若α，β是方程x2+x-1=0的两根，求证：α2=β+2,β2=α+2; 分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论. 证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得 α2+α-1=0, ① β2+β-1=0. ② 由根与系数关系，得 α+β=-1,
5、 ③ αβ=-1. ④ 由③，得 α=-β-1, ⑤ ⑤式平方，得 α2=β2+2β+1. ⑥7 由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2. 由③ β=-α-1, ⑦ ⑦式平方，得 β2=α2+2α+1, ⑧ 由⑧ β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α
6、+2,所以β2=α+2; 例3m取什么值时，方程. (1)有两个实根； (2)有一个根为零；(3)两根异号； (4)有两个正数根. 解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1). 令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1.① 又由m可知，必须m≥0②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根； 注意 此问的解答中，容易忽略条件②. (2)由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零； (3)由已知，两根之积为
7、负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号； (4)设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10,x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0,7即 但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0, 即 △=4(-m+1)≥0. ③ 由①，②，③，得不等式组 答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根. 注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案
8、就错了.例如取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2-4x+7=0没有实根，也就没有正根了. (三)课堂练习 α取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是正根. (提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零. (四)小结7 1.在
