一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

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1、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。一、一元二次方程根的判别式关于的一元二次方程用配方法可得称为根的判别式则方程有两个不相等的实数根则方程有两个相等的实数根则方程没有实数根反过来也成立根的判别式主要用来解决以下两类问题⑴不解方程，判断方程实数根的情况；⑵根据方程实数根的情况，确定方程中某一字母系数的取值范围。例1不解方程判断下列关于的一元二次方程根的情况⑴⑵⑶⑷解：运用判别式先要将方程

2、化为一般形式⑴方程有两个相等实数根⑵方程没有实数根⑶方程是一元二次方程方程有两个实数根⑷方程有两个实数根例2一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是。解：错误解法==注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。正确解法且例3关于的一元二次方程其根的判别式的值为1，求的值。解：=注意舍去例4已知关于的方程有实数根，求的取值范围。解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。⑴方程为一元一次方程有一个实根⑵方程为一元二次方程且时方程有两个实数根综上，当时方程有实根。小

3、结：⑴应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为0；⑵应用判别式应将方程化为一般形式；⑶注意有实根和有两个实根的区别。一、一元二次方程根与系数的关系如果，是方程（）的两个根则有一元二次方程根与系数的关系是初中数学中重要的基础知识，主要用来解决以下四类问题：⑴利用两根关系确定方程的系数；⑵不解方程，求某些关于根的代数式的值；⑶根据根系关系构造新方程；⑷判断方程两根的符号。应用根系关系要注意定理的前提条件：①方程应为一元二次方程，注意二次项系数②在有实数根的条件下例5已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，满足求的值解：∵即

4、∴又解之得当时当时舍去∴例6已知方程的两个根为，求的值。解：∵∴，∴，∴======例7已知方程的两个实数根为，求作一个以和为根的一元二次方程。解：首先方程有两个不等实根法1，+==∴所求方程为法2注意到均为原方程的根这样计算较为简单。一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（二）例8⑴已知实数且，，求的值。解：由已知是方程的两个不等实根⑵已知，且，求的值。解：由及可知，又由又与可看作方程的两个不等实根⑶已知实数分别满足，，求的值。解：依题意都是方程的实数根①当时是的两个不等实根②当时是的同一个实数根当=+时当=-时例9已知是一元二次方程的两个实数根，且满

5、足，求的值。解：不对称，利用根系关系代入方程，可求出当时，∴例10已知关于的一元二次方程，若为方程的两个实数根，且满足，求的值。解：已知，，不对称，利用方程和根系关系，，==，当时∴或例11已知：关于的一元二次方程的两个实数根之差的平方为，⑴试分别判断当与时，4是否成立，并说明理由。⑵若对于任意一个非零的实数，总成立，求实数及的值。分析：求一元二次方程两根差的方法有两种①求出，易得②=由根系关系可得解：⑴当，时，原方程为，，成立当，时，原方程为，=不成立⑵设方程的两个实数根为，∴=对于任意非零实数，∴∴当，∴，例12已知关于的两个方程①和②方程①有两个不

6、相等的负实数根，方程②有两个实数根。⑴求证：方程②的两根符号相同；⑵设方程②的两根分别为，若，且为整数，求的最小整数值。分析：利用判别式和根系关系可判别方程两根符号①若两根同号此时当，两根同为负数当，两根同为正数②若两根异号此时当，正根绝对值小于负根绝对值当，正根绝对值大于负根绝对值当=，两根绝对值相等③若=即两根至少有一个为零此时当，另一根必为负数当，另一根必为正数当=，即另一根也为零⑴证明：设为方程①的两个实数根由已知即解得由方程②有两个实根可知∴当时，，方程②有两根之积为正。∴方程②有两根符号相同。⑵由⑴，又为整数当时不是整数当时或当时当时∴的最小

7、整数值为小结：⑴在使用根系关系时，要注意前提条件：二次项系数，判别式。⑵求和两根有关的代数式：如果是对称式，可用根系关系；如果不是对称式，可考虑利用方程和根系关系相结合。⑶根系关系和判别式相结合可判断两根的符号。