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1、一、豌豆概率问题阐述如图1所示，一颗豌豆被放置在四个壳里屮的其中一个的里面，一个敛捷的操纵者通过一系列迅速的移动将它们重新排列。每一次的移动，含有豌豆的壳要么向左或向右移，并且按照如下规则进行：#1#2#3#4、1/2一、1/2，3图1当含有豌豆的壳在位置#1时，就只能移动到位置#2,如果含有豌豆的壳在位置#4时，就只能移动到位置#3。当含有豌豆的壳在位置#2或#3时，就有可能向左或右移动。问题1：假定我们知道含有豌豆的壳的初始位置，那么经过鸟次移动后，含有豌豆的壳在这四个位置的概率各是多少？问题2
2、：经过无数次（kToo）移动后，含有豌豆的壳出现在每个位置的概率又是多少？二、试验原理阐述1.矩阵的基本概念由mxn个数^..（z=l,2,...,m;y=1,2,.../?）排成的m行n列的数表称为mx〃矩阵。记作:/、°11…aA=:•.:…amn>2.矩阵的特征值特征向量设A为77阶实矩阵，如果存在实数2与"维非零列向量X,使得AX=AX，则称2是矩阵A的特征值，X是对应于特征值2的特征向量。特征值与特征向量的求法：①列出矩阵A的特征多项式：=②解特征方程
3、AE-A
4、=0所得的根，即为矩阵
5、A的特征值人；③对于A的不同特征值人，求方程组^E-A）X=0的基础解系刍，…花④向量的组合：，垢+強+・・・+仏（仆，…，褊不同时为0）即为特征值&•的全部特征向量。2.矩阵的相似对角化定理：若矩阵A有斤个不同的特征向量，则A必与对角阵A相似，即ADA,且有Q-'AQ二A,其中，V...0、A=：Q=…'久），其中人'入…&为方阵A的特征值,〃］,“2,•••，〃“为〔0…k人，入…2“分别对应的特征向量。所以有，A=QAQT,Ak=QAQ-lQAQ-l-QNQ'=QA0.三、模型建立与求解设豌豆
6、经过k次移动后，含有豌豆的壳在位置#2•的概率为门伙），k=l,2,3,4.第k次移动后豌豆的概率分布，可以写成一个行向量：P伙）=［Pi仇）,“2伙）’“3伙），卩4（灯］记豌豆由和移动到#丿的概率为：P（#i#/）,（/,./=1,2,3,4）根据题目可以得到，P(#1T#1)=O,P(#2t#1)=*,P(#3t#1)=0,P(#4t#1)=0,P(#1t#2)=1,P(#2t#2)=0,P(#3t#2)=丄,2P(#4T#2)=0,P(#lt#3)=0,P(#2t#3)=*,P(#3t#3)
7、=0,P(#4t#3)=1,P(#lt#4)=0P(#2T#4)=0P(#3t#4)=*P(#4t#4)=0当心1时，Pi⑴=P(0)P(#1T#Z)+p2(0)P(#2T#i)+p3(0)P(#3t#z)+p4(0)P(#4t#/),(z=l,2,3,4)P)(l)=Pi(0)x0+”2(°)x*+03(0)x0+%(0)x0〃2(1)二^(0)x1+/?2(0)x0+/73(0)x-+/74(0)x0必⑴=Pl(0)x0+p2(0)x1+A(0)x0+p4(0)x
8、卩4⑴=Pi(0)x0+p2
9、(0)x0+p3(0)x-^+p4(0)x0所以得,P(1)=[P(O)，03（°），〃4（0）］'0丄2P(2)=[卩(1),0>=[P(°),“2（°），必（0），P4（0）］丄20丿0?10以此类推，可以得到递推公式P（k）=［01伙一1），“2伙一1），03伙一1）,“4伙一1）］0)…=[Pi(0X卩3（°），“（0）］3‘0丄I2丄20110丄220丿0、所以得到转移概率矩阵：人二即，P(k)=P(0)Ak对矩阵A进行相似对角化:①求解特征值：
10、/IE-A
11、=O,n=0,=a2-i)a
12、2--)=o,4解得：人=1,入=一1,心=*,&2①求解特征向量：对线性方程组(^E-A)X=0求解人=1,〃严(1,1,1,1)；入=一1J7=(1,—1,1,-1)Al=_£，〃1=(1，_?_1_/!11nr‘亍二，T)；所以WA=2AQ-1,所以p伙)=p(Q)Ak=P(0)QA炉②得对角矩阵：、<1111)-11—1111Q=112~2211111~2~2~2)<•-1-1•)A£=QA0fl111]fl、k111n1-111-11-1112~212_2111121111~2~21~2
13、~2-1-11丿~2>-1-11J=P(0)-11丄2~2-1(-1/if2J]_313亍丄亍丄亍丄亍]_3]_3£313>下面就k分两种情况讨论:1•当k为偶数时：-1P(k)=P(0)-11j_2_2-1<1=P(0)1_+33-233・2"2j_21丿6丄61_31<33£33i_33_3136j_6亍13>13-2k'[3-2_33-233-217^11-+3①当豌豆初始位置在#1壳里时，P(0)十13・2—0,0],PE”占0233・2kT8,时limP
