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1、2011年白云区中小学教师教学论文年会参评论文关于新课程下切线的教学思考作者：王胜锋（数学科）单位：广州市彭加木纪念中学关于新课程下切线的教学思考内容摘要：本文通过对中学阶段数学课本中有关于切线的内容做了一个系统的分析，并对在教学过程中，学生容易出现的问题，作了详细的解答。最后明确指出切线是过曲线上定点的割线的极限位置，不能简单的从直线与曲线的交点个数来判别。关键词：切线的定义割线交点的个数极限位置关于切线的教学，从初中到高中一直没有间断。在实际的教学中，多数学牛对切线这一概念只是停留在当一条直线与曲线只有一个交点吋，该直线就•曲线和切“的表象认识上，简单地理解为直线与曲
2、线仅冇一个交点时即为切线。学生知所以产生如此片面的认识，我觉得在整个中学阶段没有强化切线这一概念，关于切线最本质的东西没有凸现出来是其屮最主要的原因。在初中阶段，我们对圆的切线是这样定义的：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.根据这一定义我们町以得到直线与圆相切吋的直观图形，学生慢慢便会形成下面的认识：(1)与圆只冇一个焦点的直线即是圆的切线。(2)与曲线只有一个交点的肓线即为曲线的切线。(2)是在(1)的基础上进行的一个类比，它由I员1引深到了更一般的曲线，这种逻辑演绎也是我们在处理问题时常用的思维方法。到了高中，切线这一概念又经常出现在各类问题小，而此吋对
3、切线的教学在必修里面是见不到的,只在选修1-1里出现了关于切线的定义，这难以引起学生的注意和重视。其内容如下：如图，当点Pn(xn,f(xn))(n=l,2,3,4)沿着曲线y=/(x)趋近于点P(x0,/(x0))时，割线几P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线(tangentline)⑶易知，割线的斜率是k=/（£）-心）当点人无限趋近于点P时，心无限接近于切线的斜率，即k=lim/（兀+心）一（兀）=f，（如）,这里厂（如）是函数/（%）在兀=x（）处的导数。Ax这一定义是中学阶段对切线所作的最明确，最具体的定义。它给出了切线的形成过程，并且指出
4、切线是经过确定位置的肓线。但我们应该看到在这里引入切线（tangentline）重点是了为说明导数的儿何意义，学牛在学习的过程中只重视结果的运用，即fW=k,具屮£表示切线的斜率，而人人忽略了切线形成的动态过程。虽然在课木旁边有这样一个注释：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？在这里学牛更多的注意还是最后的结果，即直线与Illi线只有一个交点就成切线。我们知道这种认识太过于肤浅了，对切线这一概念的木质没有认识清楚。正是因为这样，学生碰到下列问题时，就会出现迷惑。（1）当直线与曲线只冇一个交点时，该直线就是切线吗？（2）切线都在曲线的同一侧吗？（3）是否在Illi线
5、上的任何位置都存在切线呢？（4）如果曲线是直线或折线时，它有切线吗？耍正确认识以上问题，必须理解切线定义的整个过程，它是割线在曲线上的极限位置。这说明它既是极限乂是位置。下面依次举列说明这些问题，并且在每个问题里面我们都相应地给出割线在确定切线时的变化过程。对（1）,如图，曲线G：y=2”，与G只有一个交点肓线有无数条，显然只有肓线L是曲线在点P的切线。可见直线与曲线的交点的个数不能作为直线是不是过曲线上某点的切线的依据。3在兀=0处的切线为y=0,该切线位于曲线的两侧。可见切线并不都在］11
6、线的一侧。对(3),如图，折线C3.y=xo在兀H0处的切线与直线段部分重合，
7、此时割线与肓线段有无数个交点，即割线的极限位置与直线段部分重介,从这一点我们可以看出直线的切线,割线都与直线自身重合。当兀＞0时，过肓线段上任何一点的切线方程为y二兀；当兀＜0时，过肓线段上任何一点的切线方程为)=-xo这样在x=0处的切线就存在两条，但是根据导数的几何意义，.厂(0)=1,-1，这是不可能的。从而我们可以判定折线C3:y=x在兀=0处不存在切线。更不是有些学生认为的，过原点的切线为y=0o对(4),如图，1111线C4:y=0在xw/?上连续，由于厂(0_)=—8,■厂(0+)=+oo,则函数y=x3在兀=0不可导。但从过原点的割线上的另一个交点趋近
8、于原点吋，可以看出此时得到一-条确定的直线：兀=0,即过原点的切线。由(1)(2)(3)(4)可知，当曲线C:y=fx)在某点可导时,过该点的切线才存在。反过来,过曲线上某点的切线存在，函数在该点不一定可导。另外，随着曲线上点的位置的变化，切线也随着变化，也就是说切线与位置冇关。如图：L是过曲线上点P的切线，但此时L与1111线C有两个交点，所以它也是曲线C的割线。综合以上的分析，我们应该注意到切线是过曲线上定点的割线的极限位置。整条曲线不•定都要平滑，但只要冇一段平滑，则在这段上就存在切线。在这里，直线，圆，圆锥曲线都是曲
