21.2.2 公式法.2.2 公式法 教案

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1、21.2.2公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入活动1：（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2－7

2、x+1=0（2）4x2－3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2－7x=－1二次项系数化为1，得：x2－x=－配方，得：x2－x+（）2=－+（）2（x－）2=x－=±x1=+==1x2=－+==（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二

3、次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．活动2：问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=－c二次项系数化为1，得x2+x=－配方，得：x2+x+（）2=－+（）2即（x+）2=∵b2－4ac≥0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=

4、±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．活动3：例1．用公式法解下列方程．（1）2x2－4x－1=0（2）5x+2=3x2（3）（x－2）（3x－5）=0（

5、4）4x2－3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=－4，c=－1b2－4ac=（－4）2－4×2×（－1）=24>0x=∴x1=，x2=（2）将方程化为一般形式3x2－5x－2=0a=3，b=－5，c=－2b2－4ac=（－5）2－4×3×（－2）=49>0x=x1=2，x2=－（3）将方程化为一般形式3x2－11x+9=0a=3，b=－11，c=9b2－4ac=（－11）2－4×3×9=13>0∴x=∴x1=，x2=（3）a=4

6、，b=－3，c=1b2－4ac=（－3）2－4×4×1=－7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．活动4三、巩固练习教材P42练习1．（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m－2）x－1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（

7、2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2m2=1m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=－1时，m+1=－1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2－1－x=0a=2，b=－1，c=－1b2－4ac=（－1）2－4×2×（－1）=1+8=9x=x1=，x2=－因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=－．（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m－2）=2m－1=－1

8、≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．③当m+1=0，即m=－1时，m－2=－3≠0所以m=－1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x－2x－1=0，解得：x=－1当m=－1时，一元一次方程是－3x－1=0解得x=－因此，当m=0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=－1；当m=－1时，其一元一次方程的根为x=－．活动五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元