22.2.3公式法解一元二次方程

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1、22.2.3公式法复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程(1)x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么?提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程。)2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)现将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;

2、(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.二、探索新知用配方法解方程(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=,x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析:因为前面具体数

3、字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax2+bx=-c二次项系数化为1,得x2+x=-配方,得:x2+x+()2=-+()2即(x+)2=∵4a2>0,4a2>0,当b2-4ac≥0时≥0∴(x+)2=()2直接开平方,得:x+=±即x=∴x1=,x2=由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=就得

4、到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-x+=0(4)4x2-3x+2=0分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.补:(5)(x-2)(3x-5)=0三、巩固练习教材P42练习1.(1

5、)、(3)、(5)或(2)、(4)、(6)四、应用拓展例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.(2)要使它为一元一次方程,必须满足:①或②或③解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2m2=1m=±1当m=1时,m+1=1+1=2≠0当m=-1时,m+1=-1+

6、1=0(不合题意,舍去)∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0a=2,b=-1,c=-1b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9x=x1=,x2=-因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-.(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意.②当m2+1=0,m不存在.③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意.当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,解得:x=-1当m=-1时,一元一

7、次方程是-3x-1=0解得x=-因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-.五、归纳小结本节课应掌握:(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果。(4)初步了解一元二次方程根的情况.六、布置作业1.教材P45复习巩

8、固4.2.选用作业设计:

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