鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形微专题五三角函数问题的多解探究教案含解析201908312121

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1、微专题五　三角函数问题的多解探究[解题技法]三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐．题目　已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．解　方法一　构造方程由3cosx＋4sinx＝5两边平方，得9cos2x＋24sinxcosx＋16sin2x＝25.而25＝25(sin2x＋cos2x)，所以上式可整理为9sin2x－24sinxcosx＋16cos2x＝0.即(3sinx－4cosx)2＝0.所以3sinx－4cosx＝0，

2、解得tanx＝.方法二　构造方程组由消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝，cosx＝.故tanx＝＝.方法三　构造辅助角由3cosx＋4sinx＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cosφ＝，sinφ＝.所以tanφ＝.所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，于是tanx＝tan＝cotφ＝.方法四　代数换元令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，cosx＝，sinx＝.3再代入sin2x＋cos2x＝1，得2＋2＝1.解得t＝，即tanx＝.方法五　运用三角函数定义设P(m，n)为角x

3、终边上任意一点，P点到原点O的距离为r，则r＝.把sinx＝，cosx＝代入已知等式得3·＋4·＝5.即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．整理得(4m－3n)2＝0.所以4m＝3n，显然m≠0.故tanx＝＝.方法六　构造直线斜率由3cosx＋4sinx＝5可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线与单位圆的切点．由于直线的斜率为－，所以OA的斜率为，即tanx＝.方法七　构造单位圆因为3cosx＋4sinx＝5，即cosx＋sinx＝1.设A(cosx，sinx)，B，则点A，B均在单位圆

4、x2＋y2＝1上．所以过B点的切线方程为x＋y＝1.可知点A(cosx，sinx)也在切线x＋y＝1上，从而点A也是切点，由切点的唯一性也可知A，B两点重合，所以cosx＝，sinx＝，即tanx＝.方法八　构造平面向量3因为cosx＋sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝，可知

5、m

6、＝1，

7、n

8、＝1.所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由

9、m

10、

11、n

12、≥

13、m·n

14、，等号成立的条件为：m∥n，则有cosx＝sinx，即tanx＝.3