圆锥曲线离心率范围的探求策略

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1、理化解题研究》2W7年第11期I22,3).解得汗芮•二©1.1.21/①[3+~2cosoti+cos圆的离心率e=£二*,从而有IFPJ=IP,aie=az(牛一c■IFPiIcosa,je=-

2、-(9-IFP,Icosa,)(i=1,(1+ycosa,j(i=l,2,3).因此ifpj+T和节第7(a'+^)+Cg(a,+^))].而cosa严os(a/哥+8s(a十警)=cosa：▼1厲・1，事.A44,1丄ycosa,-—Sinai-ycosa,+ysinai=0,故決芮-+W+W=T为定值•

3、点评本小题主要考査直线和椭圆等平面解析几何的基本知识,考査综合运用三角知识进行推理运算的能力和解决问题的能力•解析几何定值问题通常以解析几何知识为载体，综合函数、数列、方程、不等式、几何、三角、向址等知识•这类问题渗透性强，方法灵活多变，计算恢较大.主要考査数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力,对学生的思维能力、思想方法有很高的要求.I如何让不等关系“显山露水''IE1锥曲线离心率范围的探求策略?江苏省滨海中学(224500)陆建•离心率是圆锥曲线的一个重要的特征量•求离心率的范围,关键是如

4、何分析题意，细心挖掘“深藏不露”的不等关系,实现等量关系向不等关系的转化.1.根据点的位置，结合曲线的范围,构造不等关系圆锥曲线都有各自的范围，如对椭圆弓+^-=1ab(a>b>0)有blWa,lylWb；而对双曲线4-4=1ab(a>0,6>0)Xflxl^a.通过对范围的把握,根据点的坐标适合的不等式，可以构造出关于a、b、c的齐次不等式・例1，已知双曲线弓a0=l(a>0,6>0)的左•右焦点分别为八』2』为双曲线左支上一点,P到左准线距离为必并且IPFJ为与d的等比中项，求双曲线离心率。的取图1值

5、范围.解析如图1所示，设点则IMJ二一(a+琳0),IPF2I-a-exQtd--xQ--■二一牝-c—.由题意可得IPFJ2=PF2・d,代入有(a+ex0)2e=-a+e%0)(a-e%0)，可得x0=%芍寻丁点P在左支上,・•・观W-a,即瞑兰W-a•解得ee(1,e(1一e)1+Q]・2.曲线的定义“搭台”■焦半径范围“唱戏”，明确不等关系曲线的定义反映了曲线的本质屈性，是进行推理和判断的依据•当问题中涉及焦半径时，可以借助曲线的定义建立关于焦半径的等蚩关系,再利用焦半径满足的范围，构造出不等

6、关系，从而使解题口标明确.思路清晰.例2已知双曲线4-^=Ka>0,6>0)的左、ab26右焦点分别为人、A，P为左支上一点，若愉'的戢小值为8a,求其岛心率e的取值范围.解析根据双曲线的定义JPFJ=IPF,I+2a,一“叩（HJ+2心十器+心1IPFj丁疋IPFJ~IPFJ8a.当且仅当IPFJ=2a时，原式取得最小值.又因为焦半径IPFJ满足IPFJ乡c・a,.・・2a>c-a,fi卩2m£-1,从而得1

7、载体出现的，平面图形背后有丰富的数量关系，如三角形两边之和大于第三边等性质.分析平面图形的特征，可以挖掘出所需的不等关系，从而使解题柳暗花明，峰回路转.例3已知双曲线4-4=Ka>0,6>0）的左、ab右焦点分别为几、尸2』为右支上一点，且IPAI==4IPFJ，求其离心率e的取值范围.解析由双曲线的定义得JPFJ=IPF2I+2a.XIPFJ=4IPF2I,所以IPFJ二扌a,'"*乙+Q9为IFF,I+IPF2lMlF£l，所以ya+ya^2c,可得,IPF?I=~a-因1

8、特征，转移变量，显化不等关有些不等关系常常隐藏于这样或那样的关系式中•这时适宜分析变虽的相互制约关系、利用平方数非负等性质,建立不等关系•往往能化隐为显、化难为易，起到立竿见影的效果.例4已知椭g；+咅a0“（a>6>0）,过其左焦点F作直线/交椭圆于P、Q两点，若OP丄OQ,求其离心率e的取值范围.解析如图2■设/的方图2程为九二纽-c,P（衍加）g，力），将直线方程代入椭圆方程，并整理得(b2t2+a2)y2-2b2tcy-b4=0,2b2tcb4m^7?'皿八TTP?又兀声2=(切7)(疗2Y)=与

9、〃2+/2)2-疔2b2C2t2.2+c=~77尹77丙OP丄OQ,・•・xtx2+y』2=°・代入化简得『=＜：2孑一b°*/t2＞0,/.a2c2-b4MO,即a2c2(a2-c2)2^e4-3e2+1WO,从＜1.5.建立函数模型，实施变■分析，提炼不等关系如果某一问中，离心率受到某个变量的制约,那么可以建立离心率e关心该变慑的函数，通过求该函数的值域来确定离心率的范围•这是利用函数的观点看待问题，渗透了等价转化的思想.