江苏专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的解析几何问题第1课时范围最值问题教案含解析20190831131

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1、第1课时　范围、最值问题题型一　范围问题例1设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．解　(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2

2、－16k2x＋16k2－12＝0.解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.12在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得MA≤MO，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简，得xM≥1，即≥1，解得k≤－或k≥.所以直线l的斜率的取值范围为∪.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范

3、围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．(1)证明　设P(x0，y0)，A，B.因为P

4、A，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．12所以y1,2＝，所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．(2)解　由(1)可知所以PM＝(y＋y)－x0＝y－3x0，

5、y1－y2

6、＝2.所以△PAB的面积S△PAB＝PM·

7、y1－y2

8、＝.因为x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型二　最值问题命题点1　利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF

9、·BF的最小值是________．答案　4解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝×＝≥4.命题点2　数形结合利用几何性质求最值例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．答案　解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c12恒成立，得c≤，故c的最大值为.命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4已知椭圆C：＋＝1(a>b>

10、0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．解　(1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2，结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0，结合0

11、直线y＝x上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由题意得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝，所以x1＋x2＝－，因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线y＝x上，12所以－＝2×，解得k＝－.所以Δ＝48(12－m2)>0，解得－2

12、