3.4(3)基本不等式

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1、3.4基本不等式习题课1.掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式:(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)(a,b∈R+);(3)(ab>0);(4)(a,b∈R).以上各式当且仅当a=b时取等号,并注意各式中字母的取值要求.2.理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R+,则.其中当且仅当a=b时取等号.复习:变式x<0,当x取什么值时,的值最大?最大值是多少?解:因为x>0,所以当且仅当时,即x=1时取等号,所以当x=1时,的值最小,最小值为2.练习1.x>0,当x取什么值时,的值最小?最小值是多少?解:因为x<0,所以-x>0.当且仅当时,

2、即x=-1时取等号,所以当x=-1时,的值最大,最大值为-2.变式x<0,当x取什么值时,的值最大?最大值是多少?已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值证明:∵x,y都是正数,∴(1)积xy为定值P时,有上式当x=y时取”=”号,因此,当x=y时,和x+y有最小值(2)和x+y为定值S时,有上式当x=y时取”=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值极值定理:注意:用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等用均值不等式求最值的规则:和定积最大,积定和最小例1:解:如果给定条件为X≧4

3、结论有变化吗?C,E练习:极值定理可以理解为:用极值定理求最值的三个必要条件:一“正”、二“定”、三“相等”解:例2:练习1:解:练习2:证明【基础训练】1.下列函数中,最小值为4的是________.①②③④③2.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_______.[9,+∞)解:ab=a+b+33.如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为_______.18解:由题意log3mn≥4从而mn≥814.已知,则的最小值_______.9解:例1:已知,,求x+y的最小值。取等条件不同误解:由得而【典例解析】题型一:利用不等式求最值正解:当且仅当时取等号

4、变式1:x>0,y>0且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法一:由题意得2x+8y=xy例2:已知x>1,求x+的最小值以及取得最小值时x的值。当且仅当x-1=时取“=”号。于是x=2或者x=0(舍去)构造积为定值解:∵x>1∴x-1>0∴x+=(x-1)++1变式1:x>0,y>0且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法二:由题意得变式2:设函数,则函数f(x)的最大值为_____解:负变正题型二:利用不等式解应用题()解:(1)xxxy)2642(5.0100++++++=L5.1100++=xxy即0>x探究拓展:(1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,也就

5、是其取值范围。(2)在求函数最值时,除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到“=”,此时应考虑函数的单调性。(2)由均值不等式得5.215.110025.1100=+׳++=xxxxy当且仅当,即x=10时取等号xx100=题型三:不等式的证明例4:已知求证:思维点拨:由于不等式左边含字母a,b右边无字母,直接使用基本不等式既无法约掉字母,不等号方向又不对,因a+b=1,能否把左边展开,实行“1”的代换。证:当且仅当时取等号变式3:已知,求证:证:当且仅当时取等号【走近高考】1.(08年江苏卷)设x,y,z为正实数,满足,则的最小值是______解:由得代入得当且仅当x=3

6、z时取等号2.(06年上海卷)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为______解:4.(08年重庆卷)若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为____解:a是1+2b与1-2b的等比中项,则

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