基于MATLAB的数字信号的代数插值

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1、基于MATLAB的数字信号的代数插值李文静11208520104504机械工程代数插值是指在所给的基准数据情况下，研究如何平滑地估算出基准数据Z间其它点的函数值。已知n+1个节点(xi,yi)(i二0,1,…,n)其屮xi互不相同,不妨设a=xO1、算法原理1.1Lagrange插值L-(x)=:述::+3｛：・贞・+・・+&x+a：・(1)设g(x)是n次多项式，记作对于节点(xi,yi)应有Ln(xi)=yi,i=0,1,•••,n.(2)为了确定插值多项式Ln(x)中的系数an,an~l,---a0,将(1

2、)代入(2),有兀X；・耳0严一…r[X厂ST)方程组(3)简写作XA二Y(4)其中，detX是Vandermonde行列式，利用行列式性质可得detX=ng_兀)Q

3、足(2)的n次多项式。由方程(4)解的唯一性，(6)式表示的Ln(x)与(1)式相同。(5)(6)称Lagrange多项式，用Ln(x)计算插值称Lagrange插值。1.2Newton插值由于y=f(x)关于两节点xO,xl的线性插值多项式为Ari(x)八心一八S)(…°)X】_X。/(工】)-/g)(工X。)假设满足插值条件f(xi)=yi=g2(xi)(i二0,1,2)的二次插值多项式一般形式为g2(x)二cO+cl(x~x0)+c2(x-xO)(x-xl)由插值条件可得=/(%)Co+jg-兀0)=/(^l)Co+sg—Xo)+c2(

4、x2一x0)(x2一X])=/(x2)可以解岀5=/(X。)「_/g)-/(x°)c]_兀]一Xo/(—)-/(X】)/(X})-/(X0)X.-X,X.-X-Cr=-•X2-X0所以g2(x)=cO+cl(x~xO)+c2(x-xO)(x-xl)=gl(x)+c2(x-xO)(x-xl)类似的方法，可以得到一般的Newton插值多项式为gn(x)=f(xO)+f(xO,xl)(x~xO)+f(xO,xl,x2)(x-xO)(x-xl)+...+f(xO,xl,...,xn)(x-xO)(x~xl)...(x~xnT)=gn-l(x)+f(x

5、O,xl,...xn)(x~xO)(x~xl)...(x-xnT)特别地，一次Newton插值公式为gl(x)=f(xO)+f(xO,xl)(x-xO),二次Newton插值公式为g2(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x~x0)+f(x0,x1,x2)(x~x0)(x~x1)=gl(x)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1).1.3Hermite插值在构造插值函数时,有时不仅要求在给定的点处取己知函数值，而H还要求取己知点处的微商值，使得插值函数和被插函数贴近程度更好，这种插值称为Hermite插值。本文以分段三次Hermite

6、插值为例作一下讨论。当给定x0,x1和相应的函数值yO=f(xO),yl=f(x1)及微商值y0‘=fz(x0),ylz=ff(x1),要求一个三次多项式H(x)使之满足H(xi)=yi;Hz(xi)=yizi=0,1(1)上式称为Hermite插值的插值条件。对于(1)式的插值条件，可用插值基法求出公式:设h0(x),110(x),hl(x),111(x)为三次多项式，考虑如下形式:1IH(x)=Vf(xf)hf(x)+V/

7、0,1则由(2)式确定的三次多项式满足插值条件(1)转化为满足插值条件(3)和(4)。用待定系数法求得：X-Xq工1一X。"(7)吕工_X]X。-X]丿X1-X。H心)=(x-X])()2将所求的hi(x),Hi(x)(i=0,1)代入(2)式，可得满足插值条件(1)的三次Hcrmiate插值公式：H(x)=hO(x)y0+hl(x)y1+HO(x)yO'+Hl(x)y1'若函数f(x)在节点x0,x1,x2,・・・xn处的函数值为y0,y1,y2,・・・yn,导数值为y(T,y1，,y2，,…yrf,求一个分段(共n段)多项式函数q(x),

8、使其满足q(xi)二yi,q'(xi)=y，i二0,l,・・・n。相当于在每一小段上应满足四个条件，可以确定四个待定系数，三次多项式正好有四个系数,故可以考虑用三个