复旦高数第12章习题

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1、习题12・11-写出下列级数的一般项:2⑵号£+第+曲1+…解:⑴匕12/?—1⑵匕X2(2/1)!!⑶—严2小2.求下列级数的和:—+丄+—+…・5552l(x+〃—l)(x+〃)(x+/?)(x+n+l)'V1；幺讪+1)(〃+2)8一一+2—2y[n+1+[n)w=l解:(1)因为$"=彳+申*■JJ]55〃[1Y~15丿1一厂51Y]5)1-1-从而E蔦’即级数的和为7齐―>8⑵冷(x+n-l)(x+n)(x+〃+l)(1121兀(兀+1)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)+(X+/7-l)

2、(X+/7)(X+/?)(X+/?+l)；/1111、12(x(x+l)(x+〃)(x+〃+l)因此昨二命’故级数的和为缶(3)因为匕=(厶+2-J/7+1)-(厶+1-乔)从而^=(V3-V2)-(V2-V1)+(V4-V3)-(V3-V2)+(厉-齿)-(扬-a/J)+…+(厶+2-厶+1)-(M+1-乔)=J/2+2—+14-1—V2+1-V2所以limS/;=l-V2,即级数的和为1—2.判定下列级数的敛散性：⑴£（后1-乔）；"=1⑵古+讣1+血+…+（5"_4；（5”+1）+…；G）訂£+

3、埠+…；⑷”吉+金+

4、…+吉i，解：⑴s”=（血一/）+（巧一血）+…+（咖7T一需）=Jn+1-1从而limS”=+oo,故级数发散.1（⑵心1一Z7T8111111■■—^―•—1—11、661111165/?-45/7+1；15〃+1丿511<1A从而lim5?,=-,故原级数收敛，其和为丄.i"552（3）此级数为Q=~~的等比级数，且

5、g

6、

7、=V解：(1)当P为偶数时，

8、%l+S+2+・・・+S+p(―1严.(-ir3.(-i),,+4..(-in+,H111n+77+2〃+3n十p111177+1十n+277+3n+pz1<11/7+15+277+31斤+1<(〃+卩一2n+p-1J(-1严.(-1严,("+111巾+2111十Z7+1Z7+2Z7+31<1177+15+2〃+31/7+1n+4因而，对于任何口然数P，/当P为奇数时，

9、匕+

10、+6+2+・・・+%1•••+n+p--P---Ml切+/?-1力+”丿(_］严+】十…斤+3“+p都有11

11、+1n

12、匕刊+匕+2+・・・+%”Ve>0,取N-+1,则当2/V时，对任何自然数p恒有Ufl+}+Un+2+…+Un+p8(、//+l立，由柯西审敛原理知，级数工一收敛.心n⑵对于任意自然数P,都有

13、匕刊+匕+2+•••+%”2“+2cos(/7+l)xcos(/?+2)xcos(〃+p)兀H；2讪2<12〃2"+"于是，Ve>O(ON时，对任意的自然数P都有

14、U”+i+U“+2+•••+[/”+』<£成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛.⑶取P初，则11、3(〃+1)+2一3(“+1)

15、+3,111H3・2/7+13・2〃+23・2/?+3>F13S+1)+13・2〃+16(〃+1)1>一12从而取£。=丄，则对任意的nWN,都存在P初所得亿+1+匕+2+…+匕+』>£。，由柯西1审敛原理知，原级数发散.习题12・21.用比较判别法法判别下列级数的敛散性：(1)——I—!—

16、1?1-・・・•丿465-7(77+3)(77+5)'(2)1+1+2+1+3+•••+I+〃+..•・旧1+才1+32++1+/+，G)务zt=l3(4)£w=V2+/73co⑸乞W=111+/(a>0)；解：⑴•••u”=](巾+3)

17、S+5)而£丄收敛，由比较审敛法知£(；〃收敛.心rr心>1+71n+n281而工一发散，由比较审敛法知，原级数发散.•71sin-⑶・.・lim—咅”T81•71sinlim7t-'〃T8=71003〃3〃007T收敛，故£sin二也收敛.3〃//=1百31收敛.00[00而£4■收敛，故£(5)当时,81而工=收敛,一a'co也收敛.当E时,limC/=lim-=-工0,级数发散."T8片―>822当Ovavl时，limt/^lim—!—=1/0,级数发散."T8HT8]+q"综上所述，当时，原级数收敛，当0<0^1时，原

18、级数发散.1_1O/?_18]8/[(6)由lim——=ln2知恤一上=ln2<1而工丄发散，由比较审敛法知VL;[发一0x28j_七n幺心-1/n散.1.用比值判别法判别下列级数的敛散性:°°2⑴萼H=1」332333"⑶吉+着+蛊+7青…解:(I)unrn2由比值审敛法