复旦高数第12章习题附答案

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1、习题12-11．写出下列级数的一般项:(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)；2．求下列级数的和:(1)；(2)；(3).解：(1)因为从而，即级数的和为．(2)从而因此，故级数的和为(3)因为从而所以，即级数的和为．3．判定下列级数的敛散性:(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)从而，故级数发散．(2)从而，故原级数收敛，其和为．(3)此级数为的等比级数，且

2、q

3、<1，故级数收敛．(4)∵，而，故级数发散．*4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)；(2)；(3).解：(1)当P为偶数时，当P为奇数

4、时，因而，对于任何自然数P，都有，∀ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛．(2)对于任意自然数P，都有于是，∀ε>0(0<ε<1)，∃N=，当n>N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P=n，则从而取，则对任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散．习题12-21．用比较判别法法判别下列级数的敛散性:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).解：(1)∵而收敛，由比较审敛法知收敛．(2)∵而发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)

5、∵而收敛，故也收敛．(4)∵而收敛，故收敛．(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．当a=1时，，级数发散．当01时，原级数收敛，当0

6、级数收敛．(3)，故原级数收敛．(4)，当ba时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．习题12-31．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于所以，发散，所以原级数条件收敛．(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛．(4)

7、因为．故可得，得，∴，原级数发散．(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，，所以原级数发散．(6)由于而发散，由此较审敛法知级数发散．记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．2．如果级数的和用前项的和代替，试估计其误差.3．若存在，证明：级数收敛.*4．证明：若收敛，则绝对收敛.习题12-41．求下列函数项级数的收敛域：(1)；(2).2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)；(2)；

8、(3)；(4).解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为所以收敛半径，收敛区间为(-e,e)．当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．所以当x2<1即

9、x

10、<1时，级数收敛，x2>1即

11、x

12、>1时，级数发散，故收敛半径R=1．当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原

13、级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t=x-1，则级数变为，因为所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1

14、x

15、<1时收敛，而当

16、x

17、=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记，易知级数收敛域为(-1,1)，记，则，故即，，所以习题12-51．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的

18、区间:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；解：(1)由于，(-1