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1、第七章向量代数与空间解析几何习题7.13.设M是平行四边形ABCD的中点,O是任一点,证明解:由平面几何知识我们知道M既是AC的中点,又是BD的中点．下面先证.由三角形法则, 我们有（因M是AC的中点）,而,故,从而得到. 同理可以得到 ,故.8.证明以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.解:由两点间的距离公式得,,.所以故ABC为等腰直角三角形9.求点A(1,2,3),B(3,-4,6)所确定的向量的坐标,模,方向余弦和方向角.解:,,6,,.习题7.25.设
2、a=(3,5,-2),b=(2,1,4),试确定的关系,使与z轴垂直.解a=(3,5,-2),b=(2,1,4),取z轴方向向量c=(0,0,1).要使与z轴垂直只需.而即.9.设是向量,证明:.证明:由向量的性质可得可得:习题7.32.求平面2x-3y-4z-12=0与三个坐标轴的交点.解:因为2x-3y-4z-12=0可化为:所以,平面与x轴交点坐标为:(6,0,0),平面与Y轴交点坐标为:(0,-4,0),平面与Z轴交点坐标为:(0,0,-3).3.求过点(1,-1,2)且平行于平面3x-y+2z+6=0的
3、平面方程.解:设所求平面的法向量为因为所求平面与平面3x-y+2z+6=0平行,所以=(3,-1,2),6所以,据平面的点法式方程，所求的平面的方程为:3(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.即3x-y+2z-8=0.4.求过点(1,1,1)且垂直于两平面x-2y+z=0,的平面方程.解:平面x-2y+z=0的法向量平面的法向量取作为所求平面的法向量。所以,所求平面的方程为:即：习题7.49.求直线在平面上的投影直线方程.解:过直线的平面束方程为:,即,其中为待定常数，这平面与平面垂直的条件是,即.所以,投影
4、平面方程为:17x+31y-37z-117=0,投影直线的方程为:.6习题７.53.将yoz面上的圆绕z轴旋转一周,求所形成的旋转曲面方程.解:将方程中的y换成得旋转曲面方程.4.求xoy面上双曲线绕x轴和y轴旋转一周所成曲面的方程.解:双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面方程为:,双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面方程为:5.已知柱面的母线方向是(2,1,-1),准线是,求此柱面方程.解:设是准线上任一点，则过以（２，１，-１）为方向向量的直线方程为:(1)又在准线上,则有(2)由(1)(2)消去x0,y0,z0得它就是
5、所求柱面方程.习题7.63.求上半球面和锥面交线在xoy平面的投影.解:半球面与锥面的交线为:消去z得这恰是交线c关于xoy平面的投影柱面,6因此交线c关于xoy平面的投影曲线为:8.求旋转抛物面在三个坐标平面上的投影.解:令得,于是旋转抛物面在xoy面上的投影:.令x=0得,于是旋转抛物面在yoz面上得投影:令y=0得,于是旋转抛物面在zox面上得投影:.总习题74.求到xoy面和点(1,-1,2)距离相等的点p(x,y,z)的运动轨迹的方程.解:p(x,y,z)到平面xoy的距离为z,p(x,y,z)到点(1
6、,-1,2)的距离为由题意得即9.求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.解:设所求平面的法向量为由已知直线的方向向量为因为,所求平面与直线垂直，故取直线方向向量作为法向量，6由平面的点法式方程可得所求平面方程为:10.求过点(3,1,-2)且与两平面和平行的直线方程.解:因为两片面的法向量与不平行,所以两平面相交于一条直线,取此条直线的方向向量作为所求的直线的方向向量.即:,所求的直线方程为:.6
