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时间:2019-09-21
《复旦高数第12章习题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题12・11-写出下列级数的一般项:2⑵号£+第+曲1+…解:⑴匕12/?—1⑵匕X2(2/1)!!⑶—严2小2.求下列级数的和:—+丄+—+…・5552l(x+〃—l)(x+〃)(x+/?)(x+n+l)'V1;幺讪+1)(〃+2)8一一+2—2y[n+1+[n)w=l解:(1)因为$"=彳+申*■JJ]55〃[1Y~15丿1一厂51Y]5)1-1-从而E蔦’即级数的和为7齐―>8⑵冷(x+n-l)(x+n)(x+〃+l)(1121兀(兀+1)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)+(X+/7-l)
2、(X+/7)(X+/?)(X+/?+l);/1111、12(x(x+l)(x+〃)(x+〃+l)因此昨二命’故级数的和为缶(3)因为匕=(厶+2-J/7+1)-(厶+1-乔)从而^=(V3-V2)-(V2-V1)+(V4-V3)-(V3-V2)+(厉-齿)-(扬-a/J)+…+(厶+2-厶+1)-(M+1-乔)=J/2+2—+14-1—V2+1-V2所以limS/;=l-V2,即级数的和为1—2.判定下列级数的敛散性:⑴£(后1-乔);"=1⑵古+讣1+血+…+(5"_4;(5”+1)+…;G)訂£+
3、埠+…;⑷”吉+金+
4、…+吉i,解:⑴s”=(血一/)+(巧一血)+…+(咖7T一需)=Jn+1-1从而limS”=+oo,故级数发散.1(⑵心1一Z7T8111111■■—^―•—1—11、661111165/?-45/7+1;15〃+1丿511<1A从而lim5?,=-,故原级数收敛,其和为丄.i"552(3)此级数为Q=~~的等比级数,且
5、g
6、
7、=V解:(1)当P为偶数时,
8、%l+S+2+・・・+S+p(―1严.(-ir3.(-i),,+4..(-in+,H111n+77+2〃+3n十p111177+1十n+277+3n+pz1<11/7+15+277+31斤+1<(〃+卩一2n+p-1J(-1严.(-1严,("+111巾+2111十Z7+1Z7+2Z7+31<1177+15+2〃+31/7+1n+4因而,对于任何口然数P,/当P为奇数时,
9、匕+
10、+6+2+・・・+%1•••+n+p--P---Ml切+/?-1力+”丿(_]严+】十…斤+3“+p都有1111、+1n12、匕刊+匕+2+・・・+%”Ve>0,取N-+1,则当2/V时,对任何自然数p恒有Ufl+}+Un+2+…+Un+p8(、//+l立,由柯西审敛原理知,级数工一收敛.心n⑵对于任意自然数P,都有13、匕刊+匕+2+•••+%”2“+2cos(/7+l)xcos(/?+2)xcos(〃+p)兀H;2讪2<12〃2"+"于是,Ve>O(ON时,对任意的自然数P都有14、U”+i+U“+2+•••+[/”+』<£成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.⑶取P初,则11、3(〃+1)+2一3(“+1)15、+3,111H3・2/7+13・2〃+23・2/?+3>F13S+1)+13・2〃+16(〃+1)1>一12从而取£。=丄,则对任意的nWN,都存在P初所得亿+1+匕+2+…+匕+』>£。,由柯西1审敛原理知,原级数发散.习题12・21.用比较判别法法判别下列级数的敛散性:(1)——I—!—16、1?1-・・・•丿465-7(77+3)(77+5)'(2)1+1+2+1+3+•••+I+〃+..•・旧1+才1+32++1+/+,G)务zt=l3(4)£w=V2+/73co⑸乞W=111+/(a>0);解:⑴•••u”=](巾+3)17、S+5)而£丄收敛,由比较审敛法知£(;〃收敛.心rr心>1+71n+n281而工一发散,由比较审敛法知,原级数发散.•71sin-⑶・.・lim—咅”T81•71sinlim7t-'〃T8=71003〃3〃007T收敛,故£sin二也收敛.3〃//=1百31收敛.00[00而£4■收敛,故£(5)当时,81而工=收敛,一a'co也收敛.当E时,limC/=lim-=-工0,级数发散."T8片―>822当Ovavl时,limt/^lim—!—=1/0,级数发散."T8HT8]+q"综上所述,当时,原级数收敛,当0<0^1时,原18、级数发散.1_1O/?_18]8/[(6)由lim——=ln2知恤一上=ln2<1而工丄发散,由比较审敛法知VL;[发一0x28j_七n幺心-1/n散.1.用比值判别法判别下列级数的敛散性:°°2⑴萼H=1」332333"⑶吉+着+蛊+7青…解:(I)unrn2由比值审敛法
11、+1n
12、匕刊+匕+2+・・・+%”Ve>0,取N-+1,则当2/V时,对任何自然数p恒有Ufl+}+Un+2+…+Un+p8(、//+l立,由柯西审敛原理知,级数工一收敛.心n⑵对于任意自然数P,都有
13、匕刊+匕+2+•••+%”2“+2cos(/7+l)xcos(/?+2)xcos(〃+p)兀H;2讪2<12〃2"+"于是,Ve>O(ON时,对任意的自然数P都有
14、U”+i+U“+2+•••+[/”+』<£成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.⑶取P初,则11、3(〃+1)+2一3(“+1)
15、+3,111H3・2/7+13・2〃+23・2/?+3>F13S+1)+13・2〃+16(〃+1)1>一12从而取£。=丄,则对任意的nWN,都存在P初所得亿+1+匕+2+…+匕+』>£。,由柯西1审敛原理知,原级数发散.习题12・21.用比较判别法法判别下列级数的敛散性:(1)——I—!—
16、1?1-・・・•丿465-7(77+3)(77+5)'(2)1+1+2+1+3+•••+I+〃+..•・旧1+才1+32++1+/+,G)务zt=l3(4)£w=V2+/73co⑸乞W=111+/(a>0);解:⑴•••u”=](巾+3)
17、S+5)而£丄收敛,由比较审敛法知£(;〃收敛.心rr心>1+71n+n281而工一发散,由比较审敛法知,原级数发散.•71sin-⑶・.・lim—咅”T81•71sinlim7t-'〃T8=71003〃3〃007T收敛,故£sin二也收敛.3〃//=1百31收敛.00[00而£4■收敛,故£(5)当时,81而工=收敛,一a'co也收敛.当E时,limC/=lim-=-工0,级数发散."T8片―>822当Ovavl时,limt/^lim—!—=1/0,级数发散."T8HT8]+q"综上所述,当时,原级数收敛,当0<0^1时,原
18、级数发散.1_1O/?_18]8/[(6)由lim——=ln2知恤一上=ln2<1而工丄发散,由比较审敛法知VL;[发一0x28j_七n幺心-1/n散.1.用比值判别法判别下列级数的敛散性:°°2⑴萼H=1」332333"⑶吉+着+蛊+7青…解:(I)unrn2由比值审敛法
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