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1、几何综合问题24.(2012湖北恩施12分)如图，AB是OO的弦，D为OA半径的屮点，过D作CD丄OA交弦AB于点E,交OO于点F,且CE=CB.(1)求证：BC是0O的切线;(2)连接AF,BF,求ZABF的度数；(3)如果CD=15,BE=10,sinA=—,求OO的半径.【答案】解：(1)证明：连接OB,VOB=OA,CE=CB,・ZA=ZOBA,ZCEB=ZABCoXVCD丄OA,・•・ZA-f-ZAED=ZA+ZCEB=90°oAZOBA+ZABC=90°oAOB丄BC。ABC是(DO的切线
2、。(2)连接OF,AF,BF,VDA=DO,CD丄OA,AOAF是等边三角形。・•・ZAOF=60°o・•・ZABF=-ZAOF=30°o2(3)过点C作CG丄BE于点G,由CE=CB,・・・EG=IbE=5。2易证RtAADE^RtACGE,・sinZECG=sinZA=—,13EDBCE=EG_5sinZECG_T=13c13/•CG=7cE2-EG2=7132-52=12oXVCD=15,CE=13,.DE=2,由RtAADE-RtACGE得型=匹，即—解得AD=—oCGGE125548A0O
3、的半径为2AD=—o【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理,勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB,有圆的半径相等和己知条件证明ZOBC=90唧可证HJ]BC是OO的切线。（2）连接OF,AF,BF,首先证明AOAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ZABF的度数。（3）过点C作CG丄BE于点G,由CE=CB,可求出EG=丄BE=5,由2RtAADE^RtACGE和勾股定理求出DE=2,由
4、RtAADE^RtACGE求出AD的长，从而求出的半径。24.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知:在厶ABC中,ZACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M,MN丄AC于点N,PQ丄AB于点Q,A0=MN.（1）如图1,求证：PC=AN；（2）如图2,点E是MN±一点，连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点，连接DK,ZDKE=ZABC,EF丄PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK：CF=2：3,求DQ的长.（图1）（图2）【答案】解：（1）
5、证明：VBA1AM,MN丄AP,ZBAM=ANM=90°o•••ZPAQ+ZMAN=ZMAN+zAMN=90°,.•-ZPAQ=ZAMNOVPQ1ABMN丄AC,Z.ZPQA=ZANM=90°。AQ=MN。AAAQP^AMNA(ASA)。・・・AN=PQ,AM=AP0AZAMB=ZAPMoTZAPM=ZBPCZBPC+ZPBC=90°,ZAMB+ZABM=90°,/.ZABM=ZPBCoTPQ丄AB,PC丄BC,/.PQ=PC(角平分线的性质)。/-PC=ANo(2)VNP=2PC=3,•••由(1)知
6、PC=AN=3oAAP=NC=5,AC=8°AAM=AP=5oAAQ=MN=a/aM2-AN2=4oVZPAQ=ZAMN,ZACB=ZANM=90°,ZABC=ZMANoMN4•••tanZABC=tanZMAN=——=-AN3ACTtanZABC=—,BC=6。BCTNE〃KC,.IZPEN=ZPKC。NENPXVZENP=ZKCP,AAPNE^APCKoZ.——=—CKPCVCK：CF=2：3,设CK=2k,则CF=3k。.NE.••=-,NE=-ko2k33过N作NT〃EF交CF于T,则四边形NT
7、FE是平行四边形。445/•NE=TF=—k,/•CT=CF—TF=3k——k=—k。333VEF1PM,ZBFH+ZHBF=90°=ZBPC+ZHBFoAZBPC=ZBFHo•・・EF〃NT,AZNTC=ZBFH=ZBPCoBC•:tanZNTC=tanZBPC=——=2oPCAtanZNTC=—=2,CT=-NC=-oCT22CT=-k=-。Ak=-o・CK=2x-=3,BK=BC-CK=3«3222VZPKC+ZDKC=ZABC+ZBDK,ZDKE=ZABC,AZBDK=ZPKCoPC•:tan
8、ZPKC==1°AtanZBDK=l。KC3VtanZBDK=l,tanZABC=-,•••设GK=4m则BG=3n,GD=4no3321/•BK=5n=3,n=—o/.BD=4n+3n=7n=—°55VAB=a/aC2+BC2=10,AQ=4,.*.BQ=AB-AQ=6o219ADQ=BQ-BD=6-—=-045【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰总角三角形的判定和性质，解总
