立体几何综合问题

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1、立体几何综合问题立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道,主观题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内.选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.（1）若面PAD与面ABCD所成的二面

2、角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面,其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.面ABCD,∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，∴PA⊥DA，∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°.而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,.（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，是

3、面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，在故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力,具有一定的探索性,是一道设计新颖,特征鲜明的好题.例2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.源网！讲解:（1）∵

4、D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，∴AB1⊥平面CDE；（2）由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE∵AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段∵CE=，AC=1,∴CD=∴；（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC,∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600∴，∴,∴,∴.作出公垂线段和二面角的平面角

5、是正确解题的前提,当然,准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例3如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=（I）求三棱锥D—ABC的体积；（2）求二面角D—AC—B的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角.讲解:(1)过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.为二面角a—l—的平面角..源网！是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结D

6、M.则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,异面直线AB,CD所成的角为arctg比较例2与例3解法的异同,你会得出怎样的启示?想想看.例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的

7、高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．图①图②讲解:设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,.当且仅当.故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试.另外，本题的深化似乎源网！与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照.类似的问题是:某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.例5已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底

8、面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．讲解:(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．由