9.13立体几何综合问题

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1、9.13立体几何的综合问题●知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.●点击双基1.若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4

2、，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是A.27B.8C.8D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3=a3.答案：a35.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sinA=

3、.∴S=

4、

5、

6、

7、sinA=··=.答案：●典例剖析【例1】在直角坐标系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0），=（0，0，1）.（1）求与的夹角α的大小；（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，=－=（2，0，－1），=+=（1，1，0），则

8、

9、==，

10、

11、==.cosα=cos〈，〉===，α=arccos.（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，即n·=0，n·=0.∵=（2，0，－1），=－=（1，－1，0），即n=

12、（1，1，2）.∴∴2－q=0，p=1，1－p=0.q=2，（3）OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角.=（0，1，0），

13、

14、=1，

15、n

16、==.∴cos〈，n〉===，即〈，n〉=arccos.∴θ=－arccos.（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，∴d=

17、·

18、==.（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=（x，y，1），m⊥且m⊥，则m·=0，且m·=0.即∴2x－1=0，x=，x+y=0，y=－.∴m=（，－，1），d′=

19、

20、·

21、==.特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】如图，已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120°，过AC的一个平面α与顶点B的距离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面α上的射影AB1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2?解：在条件“等腰△ABC的顶角B=120°”下，△ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：①CB1=2；②CB=或AB=；③直线AB与平面α所

22、成的角∠BAB1=arcsin；④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos；⑥∠AB1C=π－arccos；⑦AC=；⑧B1到AC的距离为；⑨B到AC的距离为；⑩二面角B—AC—B1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】（2004年春季北京）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与S

23、B所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BC⊥SC.证法二：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二