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1、9.13立体几何的综合问题•知识梳理1.线与线、线与而、而与而间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.•点击双基1.若RtAABC的斜边BC在平而Q内,A.锐介三介形C.直角三角形顶点A在Q外，则AABC在Q上的射影是B.钝角三角形D.—条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC丄。时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC】的长、宽、高分别为3、2、1,从A到G沿长方体的表而的最短距离为A.1+73D.2V3解析：求表面上最短距离常把图形展成平曲图形.答案:C1.设长方体的对角线长为4,过每个顶
2、点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°,则长方体的体积是A.27^2B.8V2C.8V3D16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为x,由22+2W=42=>x=2V2,.•.V=2X2X2V2=8>/2.答案：B2.棱长为g的止方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是解析：易知球的直径2rYci.所以R=—a.所以方色疋=匹232答案：邑&26_V42V3•y[A73.已知厶ABC的顶点坐标为A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,面积是.解析：AB=(1,1,1),AC=(2,1,3),cos〈A3,AC答案：—2•典例剖析0,0),()
3、C=(2,0,【例1】在直角坐标系0—兀比中，OA=(0,1,0),AB=(1,0),OS=(0,0,1)・(1)求花与亦的夹角Q的大小;(2)设兀=(1,p,q),且"丄平面SBC,求死；(3)求04与平面SBC的夹角；(4)求点O到平面S3C的距离；(5)求界面百线SC与OB间的距离.解：(1)如图，SC=OC~OS=(2,0,-1),OB=04+AB=(1,1,0),则SC=^22+02+(-l)2=V5,
4、O^
5、=712+12+02=V2.cosa=cos〈SC,OB)SC\OBV5-V25a=arccos一_n-SC=0,(2)・・F丄平面SBC,•"丄
6、SCFl.n丄反,即<、农.BC=0.•.*SC=(2,0,-1),BC=OC~OB=(1,-1,0),[1—p=0.・・
7、^=2,即“=(1,1,2).(3)04与平而SBC所成的角0和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求页与〃所成的角.OA=(0,1,0),
8、OA
9、=1,
10、/r
11、=Vl2+12+22=V6.cos〈OA,_OA•n_1_V6mini1-V66itV6——arccos.26（4）点O到平血SBC的距离即为元在〃上的投影的绝对值,:.d=OCn2_V6In
12、763（5）址在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异而直线间的距离，故先求
13、与SC、0B均垂直的向量加.设〃尸（兀，y,1）,m±SCHm±OB,则加・SC=O,且加・OB=0.2_V6V63罐不_________j補朋手莎d莎需豆:哥应梟鬲面鬲前谥白勺扁，「亲2湎站両jgi蔬:函以］i鬲应亲］杲面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向屋求角、1求距离.i■【例2】如图，己知一个等腰三角形ABC的顶角5=120°,过4C的一个平而。与顶点B的距离为1,根据已知条件，你能求出AB在平面。上的射影的长吗?如果不能,那么需要增加什么条件，可以使ABi=2?解：在条件“等腰AABC的顶角3=120°”下，△ABC是不能唯一确定
14、的，这样线段45也是不能确定的，需耍增加下列条件Z—，可使A3i=2：①CB】=2；②CB=逅或AB=>5；③直线AB与平面a所成的角ZBABl=arcsin^；/ir7④ZABBi=arctan2；⑤ZB］4C=arccos；©ZAB}C=兀—arccos—；®AC=Vl~5；⑧B】48到4C的距离为丄；⑨3到/1C的距离为』L⑩二面角B—AC—B{arctan2等等.22—玉匾豆二个齐菽莎匾硕区疥血尬爾虚拡亦勺:即和的二2,刁眩語筱鬲前広金［杲，再冋过來考虑根据这一结杲能否推出A5=2.【例3］（2004示壽辜北京）加函，四康隹S—ABCD甬鹿面是还长另1南止另形，SD
15、垂直于底而ABCDfSB=忑,s(1)求证：BC丄SC；(2)求面4SZ)与面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为M,求异而直线DM与S3所成角的人小.剖析：木题主要考查直线与平面的位置关系等基木知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.(1)证法一：•・•底IhiABCD是止方形，・•・BC丄DC.ISD丄底面ABCD,:.DC是SC在平而ABCD上的射影.由三垂线定理得BC丄SC.证法二：・・•底jfllABCD是疋方形，:・BC丄DC.・・•SD丄底面ABCD,・・・SD丄BC.乂DCCSD=
