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1、几何综合问题24.（2012湖北恩施12分）如图，AB是。0的弦，D为OA半径的中点，过D作CD丄OA交弦AB于点E,交。O于点F,H.CE=CB.（1）求证：BC是OO的切线;（2）连接AF,BF,求ZABF的度数;⑶如果CZ,BET。,sinA=±,求。。的半径.【答案】解（1）证明：连接OB,VOB=OA,CE=CB,・ZA=ZOBA,ZCEB=ZABCO乂TCD丄OA,・・・ZA+ZAED=ZA+ZCEB=90°oAZOBA+ZABC=90°oAOBIBCoABC是＜30的切线。（2）连接OF,AF,BF,VDA=DO,CD丄OA,•••
2、△OAF是等边三角形。・・・ZAOF=60°oAZABF=-ZAOF=30°o2（3）过点C作CG丄BE于点G,由CE二CB,・EG=-BE=5o易证RtAADE^RtACGE,・°・sinZECG=sinZA=——,13CBCE=EGsinZECG=13o13•••CG=a/CE2-EG2=7132-52=12oXVCD=15,CE=13,ADE=2,ADDFAn?74由RlAADE^>RlACGE得仝一=——，即——=-,解得AD二一。CGGE125548・・・G）O的半径为2AD=—o5【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系
3、，切线的判定，圆周角定理,勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明ZOBC=90°即可证明BC是OO的切线。（2）连接OF,AF,BF,首先证明AOAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所対的圆周角是所对圆心角的一半即口J求出ZABF的度数。（3）过点C作CG丄BE于点G,山CE=CB,可求出EG=-BE=5,山2RtAADE^RtACGE和勾股定理求出DE=2,由RtAADE^RtACGE求出AD的长，从而求出OO的半径。25・（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在ZXABC中，Z
4、ACB=900,点P是线段AC±一点,过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M,MN丄AC于点N,PQ丄AB于点Q,A0=MN.（1）如图1,求证：PC=AN；（2）如图2,点E是MN±一点，连接EP并延长交BC于点K,点D是AB±一点，连接DK,ZDKE=ZABC,EF1PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK：CF=2：3,求DQ的长.（图2）【答案】解（1）证明：VBA1AM,MN丄AP,AZBAM=ANM=90°o•••ZPAQ+ZMAN=ZMAN+ZAMN=90°,二ZPAQ=ZAMNoVPQ丄ABMN丄AC,AZPQA
5、=ZANM=90°。AAQ=MN。AAAQP^AMNA(ASA)。・・・AN二PQ,AM=APoAZAMB=ZAPM«TZAPM=ZBPCZBPC+ZPBC=90°,ZAMB+ZABM=90°,.ZABM=ZPBCoVPQ±AB,PC丄BC,/•PQ=PC(角平分线的性质)°APC=ANo(2)VNP=2PC=3,•:由(1)知PC=AN=3。AAP=NC=5,AC=8oAAM=AP=5o•:AQ=MN=a/aM2-AN2=4oVZPAQ=ZAMN,ZACB=ZANM=90°,ZABC=ZMAN0・•・tanZABC=tanZMAN=些L=-AN
6、3ACVtanZABC=——，ABC=6oBCTNE〃KC，AZPEN=ZPKCoNENP又VZENP=ZKCP,AAPNE^APCKo——=——CKPCVCK：CF=2：3,设CK=2k,则CF=3ko・・J,NE」k。2k33过N作NT〃EF交CF于T,则I川边形NTFE是平行四边形。・•・NE=TF=-k,・・・CT=CF-TF=3k--k=-ko333TEF丄PM,•••ZBFH+ZHBF=90°=ZBPC+ZHBFoVEF//NT,ZNTC=ZBFH=ZBPCoAZBPC=ZBFHoBC•••tanZNTC=tanZBPC=——=2.PC
7、・・・tanZNTC=—=2,CTCT4NC=r,CT=-k=-o・k=-322o・CK=2x-=3,BK=BC-CK=3o2VZPKC+ZDKC=ZABC+ZBDK,ZDKE=ZABC,AZBDK=ZPKC<>AtanZPKC=—=loAtanZBDK=loKC4VtanZBDK=btanZABC=-,•••设GK=4n,贝ljBG=3n,GD=4no3321/•BK=5n=3>An=—。/•BD=4n+3n=7n=——。55AB=VAC2+BC2=10,AQ=4,ABQ=AB-AQ=6«219ADQ=BQ-BD=6-——二一。【考点】和似
8、形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角
