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1、关于几何直观的思考——探索数列的几何直观贵州省兴仁县百德中学包远平摘要：《普通高中数学课程标准（实验）》山提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的热点问题。教学过程中探讨几何直观的概念以及对相对概念的辩析，探索数列的几何直观，挖掘几何直观能力培养的教育价值。关键词：几何直观直觉空间想象能力数列的几何直观。一、几何直观概念的内涵及观点1、儿何直观蒋文蔚指出:几何克观是一种思维活动，是人脑对客观事物及联系的一种直接的识别或猜想的心理状态。［2】徐利治先生指出，几何直观是借助见到的或想到
2、的几何图形关系产生对数量关系的直接感知。⑶我想：几何直观是一种感知，一种洞察力的定势。需要通过观察、分析、揭示出事物的内在联系，使之在人脑海中形成一种形象，更有助于解答数学问题。2、几何直观与空间想象能力空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力，而直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的，几何中的推理证明始终在利用几何直观想象图形。东北师大秦德生和孔凡哲建议：⑷普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的儿何直观能力以及借助儿何直观进行推理论证的能力，从而培养运
3、用图形语言进行交流的能力及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基木要求。”我想这样叙述应该更恰当和准确。从而“几何直观”成为几何学的一大特征。二、数列的几何直观在数列中使之直观化，女2数列4、5、6、7、8、9、10对应的序号为：1、2、3、4、5、6、7。可以看成是一个序号集合到一个数的集合的映射，⑸从映射函数的观点看数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数自变量，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应的解析式。然而，数列与函数的关系，用图像来表示数列就是一群孤立
4、的点在平面上，即对应点(1,4)、(2,5)、(3,6)、(4,7)、(5,8)、(6,9)、(7,10),你会发现｛an｝是等差数列，在平面坐标上这群孤立点在-•条直线上。从而使问题的解决得以形象化和直观化。不妨来看下面的例子。设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前几项和，已知:S7=7.S沪75,Tn为数列｛Sn/n｝的前几项和,求Tn。常规解法:由S7=7.S15=75可求出s与d代入Sn/n,即可求出等差数列前几项和或者利用待定系数法，因为｛an｝为等差数列，故可令Sn二Ar?+Bn,
5、求出系数A、B得到Sn/n的通项后使问题获解。巧妙的的解法是将数列几何直观化，如下因为(Sn/n-S?/7)/(n-7)=(S15/15-S7/7)/(15-7)=lzl=-15-72(Sn/n-S?/7)/(n-7)=
6、所以切二心2+1二口，因此Tn"9加n224后面的一种解法用到了如下的事实，而避开了求公差d,注意到Sn=iKn+9H是n的一次式，对照直线y=4+(叶£),可知点2J22(n,Sn/n)在斜率为1/2的直线上，对于等差数列有：表示每一项的点(n,an)都对应在直解坐标系直线上，斜
7、率为公差d,当然我们也可以将前n项的和对应于抛物线的图像。数列和函数有着紧密的联系，数列是函数的一个特例，即自变量为正整数的函数,以联系的观点看待数学问题，可以取得事半公倍的效果。1、数学形象直观感是数学几何直观的源泉之一，对于非几何问题则要用几何眼光去审视和分析就能过渡到几何思维，从而形成了几何直观感。于是用几何直观的眼光来看下面的题io(1)在等差数列｛Hn｝中，若ai5=10,a45=90,求加分析：首先把数列｛an｝的(n,an)对应于直角坐标系的一条直线上的孤立点解：因为｛an｝是等差数列
8、，于是有(15,10),(45,90),(60,a60)@15—315)/(45-15)-(加一&15)/(60-45)(90-10)/(45-15)二(恥-90)/(60-45)所以：360=130(2)等差数列｛dn｝中，Sio=lOO,Sioo=lO,求弘()分析：在等差数列｛8n｝中，Sn=An2+Bn,Sn/n=An-B从而形成了一条直线上的一些孤立点解：设A(10,100/10)、B(100,10/100)、C(110,SQllO)三点共线有(100/10-10/100)/(10-100
9、)二(IO/IOO-Sho/110)/(100-110),所以Sho—110(3)设数列｛dn｝前几项和Sn=na+n(n-1)b(n=l,2),其中a、b是常数且bHO。证明以(Qn,Sn/n-1)为坐标的点Pn(n=l,2)都在同一条直线上，并写出此直线的方程。证明:由Hn和Sn的关系可知3n二a+2(n-1)b,Pl(a,a-1),Pn(3>n,Sn/n-1)Kpip.F[(Sn/n-1)-(a-1)]/(Qn-a)二y所以对任意nGN*,Pn(an,Sn/n-
