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《高中数学选修2-2第一章导数定积分复习学案导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的应用-、知识梳理1.一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果/(X),则/(兀)为如果f(x)，则/(x)为；如果在某区间内恒有/'(x)=0，则/(劝为2.曲线在极值点处切线的斜率为—,极值点处的导数为—；曲线在极大值点左侧切线的斜率为—，右侧为—；曲线在极小值点左侧切线的斜率为—，右侧为—；极大值与极小值统称—。3.—般地，求函数y=f(x)的极值的方法如下：解方程=0,当广(对=0时,①如果在兀0附近的左侧fx)>0,右侧f(x)<0,那么f(x°)是—值。②①如果在兀0附近的左侧广(兀)<0,右侧fx)>0,那
2、么f(x°)是—值4.一般地，在区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值。解题步骤为：①求函数/(兀)在—内的极值；②将函数f(兀)的—与端点处的函数值/(a)、/(b)比较，其中最大的是—，其中最小的是—。二、典例剖析例1(08山东)设函数f(x)=x2ex~］+ax'+bx2,已知兀=一2和兀=1为/(兀)的极值点.(I)求d和b的值；(II)讨论/(X)的单调性；2(III)设g(x)=-x3-x2，试比较/(X)与g⑴的大小.解:(I)因为fx)=ex_,(2x+X2)+3ax2+2bx=xev_l
3、(x+2)+x(3ax+2b),又x=-2和x=1为/(x)的极值点,所以厂(一2)=/(1)=0,’〔-6a+2b=0,因此彳［3+3。+2/?=0,解方程组得6/=--,h=-.3(II)因为a=—,b——1,3所以f'M=x(x+2)(ev_,-1),令fx)-0,解得兀[=一2,x2=0,耳=1.因为当x6(-oo,-2)U(0,l)时，f(x)<0；当"(一2,0)U(1，+b)时,fx)>0.所以/(%)在(-2,0)和(1,+co)上是单调递增的；在(-00,-2)和(0,1)上是单调递减的.(III)由(I)可知
4、/(x)=x2er_l--x3-x2,故-g(x)=x2eA_l-x3=x2(ex_1-x),令h(x)=ev_,-x,则//(兀)=ez—1・令hx)=0,得x=l,因为xw(-oo,l]时,/(兀)WO,所以〃(X)在"(-oo,l]±单调递减.故兀w(—oo,l]时,h(x)2h(y)—0；因为兀w[l,+oo)时，hx)0,所以加兀)在xe[l,+oo)±单调递增.故兀w[l,+8)时,h(x)h(y)=0.所以对任意XG(-oo,+oo)，恒有h(x)0,又兀2鼻0,因此/(兀)一,故对任意XE(-oo,+oo),恒有/
5、(x)2g(x).说明：本题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题，另外利用导数证明不等式也是09年高考不科忽视的考查方向.9y—h例2・(08北京)已知函数/(兀)=,求导函数f(x),并确定/(x)的单调区间.(兀一1)解:厂⑴二如-1)2x+2b—2(x-1)32—1)](x-D3令fx)=o,得兀=“一1•当b—lvl,即b<2时，/'(兀)的变化情况如下表:X(―oo,b—)b-3-1,1)(1,+°°)广⑴—0+—当/?-1>1,即h>2时，fx)的变化情况如下表:X(—8,1)(1,b-l)b-1(/?—
6、1>+°°)广(兀)—+0—所以，当b<2时，函数/(兀)在(-8,方一1)上单调递减，在(/?-!,!)上单调递增,在(l,+oo)上单调递减.当h>2时，函数/*(兀)在(-oo,l)±单调递减,在(1,»1)上单调递增,在@一1,+8)上单调递减.2当b-=},即b=2时，f(x)=——,所以函数/G)在(—00,1)上单调递减，在(l,+oo)上x-单调递减.例3・(08天津)已知函数/(x)=x4-—+b(x0),其屮a,beR.(I)若曲线y=/(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为y=3x+l,求函数/(兀)的解
7、析式；(II)讨论函数.f(x)的单调性；（Ill）若对于任意的dG,不等式/（x）<10在
8、,1上恒成立，求b的取值范围.解:（I）广（兀）=1-弓,由导数的几何意义得广（2）=3,于是a=-8.x由切点P（2,/（2））在直线y=3兀+1上可得一2+b=7,解得h=9.所以函数/（X）的解析式为/（X）==x--+9.X（II）广（兀）=1—•%■当Q50时，显然fx）>0（XH0）・这时/（劝在（-oo,0）,（0,+oo）内是增函数.当°>0时，令f（x）=0,解得兀=±需.当x变化时，f3,/（兀）的变化情况如下表:X-y
9、fa(―(0,«)y[a(V^Z,+oo)+0——0+/(x)极大值\极小值7所以/（X）在（-00,-7^）,（C,+oo）内是增函数，在（-需,0）,（0,需）内是减函数.（III）由（II）知，/（兀）在［-,1
