圆锥曲线中的四点共圆问题的研究资料

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1、圆锥曲线中的四点共圆问题的研究定理设两条直线()与二次曲线:()有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是证明由、组成的曲线即，所以，经过它与的四个交点的二次曲线一定能表成(、不同时为0)以下形式①必要性若四个交点共圆，则存在，使方程①表示圆，故式①左边展开式含项的系数.而，否则①表示曲线，不表示圆，所以充分性当时，式①左边的展开式中不含的项，取时，令式①左边的展开式中含，项的系数相等，即，得此时曲线①即②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线②上，所以方程②表示圆。这就证得了四个交点共圆.下面利用这

2、个定理来解决圆锥曲线中四点共圆问题.例1设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点.(Ⅰ)确定的取值范围，并求直线的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得、、、四点在同一个圆上？并说明理由.(2005年湖北卷)解(Ⅰ)设点,在椭圆上，因为点是线段的中点，所以，，即，.又，，两式相减，得4所以故直线的方程为,即又由N（1，3）在椭圆内，得∴的取值范围是（12，+∞）.(Ⅱ)因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即因为，由定理，知、、、四点在同一个圆上.例2设、是双曲线上的两点，点是线段的中点，(Ⅰ)求直线的方程；(Ⅱ)如果线

3、段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否在同一个圆上，为什么？(2002年广东卷)解(Ⅰ)设,在双曲线上，因为点是线段的中点，所以，，即，.又，，两式相减，得，所以，故直线的方程为,即(Ⅱ)因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即所以，由定理知、、、四点在同一个圆上.例3已知O为坐标原点，F为椭圆C：在轴正半轴上的焦点，过F4且斜率为-的直线与C交于A、B两点，点P满足=AFBOxy（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。(2011全国卷Ⅱ)证设，则过F且斜率为-的直线的方程为，与联

4、立，得，所以，由0得，因为，所以，又所以点P在C上。（Ⅱ）将，两式相减，得，所以即又由，得A、P、B、Q四点共圆。44