圆锥曲线中的四点共圆性质的应用

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1、数学学科2012学年年度论文地址：佛山市顺德区陈村镇青云中学姓名：匡德智电话：13790039227圆锥曲线中的四点共圆性质的应用引理：设两条直线()与二次曲线:()有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是证明：由、组成的曲线即：，所以，经过它与的四个交点的二次曲线一定能表成(、不同时为0)以下形式①必要性：若四个交点共圆，则存在，使方程①表示圆，故式①左边展开式含项的系数.而，否则①表示曲线，不表示圆，所以充分性：当时，式①左边的展开式中不含的项，取时，令式①左边的展开式中含，项的系数相等，即，得此时曲线①即②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形

2、：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线②上，所以方程②表示圆。这就证得了四个交点共圆定理：设是二次曲线:()上三点，则的充要条件是点处的切线的斜率证明：由引理可知，四点共圆，当点重合时，直线即为二次曲线:()的切线，于是有的充要条件是点处的切线的斜率下面应用这个定理解决圆锥曲线中的有关问题例1：（2009辽宁理20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为

3、定值，并求出这个定值。解：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍）所以椭圆方程为。（2）所以在点处的切线方程为，即例2：【09年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22.】（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。解：（1）设椭圆方程为则解得所以椭圆方程（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为又，所以的方程为：由因为直线与椭圆交于两个不同点，所以的取值范围是。（3）椭

4、圆在点处的切线方程为：，又所以，则是等腰三角形例3：2011全国高中数学联赛卷11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；yxOPAB解：椭圆在点处的切线方程为：，又，所以，所以的角平分线垂直轴，即△的内切圆的圆心在一条定直线上