四点共圆的性质与判定

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1、四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学谭兵一、四点共圆的概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。DABC二、四点共圆的性质：D（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上四点共圆．判定方法3：若凸四边形的对角互补四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角四个顶点共圆EDABCDA

2、BCABCDDCBADABCEDCBA判定方法5：共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧四个顶点共圆．判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，若PD×BP=PC×AP四个顶点共圆．ABCD判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，PD×PC=PB×PA四个顶点共圆二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 若四边形ABCD内接于圆BD×AC=BC×AD+CD×AB．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的

3、积的和，等于两对角线的积此四边形必内接于圆。若BD×AC=BC×AD+CD×AB四边形ABCD内接于圆．――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3．已知：如图所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．ABCDE求证：AD·BE＝BC·DC．6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且

4、∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．ABCD7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB·CD．托勒密定理9．在△ABC中，∠A的内角平分线AD交外接圆于D．连结BD,CD．求证：AD·BC＝BD·(AB+AC)．ABCD托勒密*8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝，求AC的长.**10．如图，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。求证：AC·AE+BD·BE＝AB211．如图，△ABC内接于圆，P为上一点，PD⊥

5、AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。求证：D、E、F三点共线。12．已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，则△PMN的形状是______，此时=______；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；(3)在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．例1、锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能

6、组成四点共圆的组数是（　　）A、组B、组C、组D、组例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：；（2）延长到，延长到，使得，证明：、、、四点共圆.例3、如图，在梯形中，，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．例4、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.例5、如图，，分别是，边上的点，且不与顶点重合，已知，，，为方程的两根.（1）证明：，，，四点共圆；（2）若，，，求，，，四点所在圆的半径．例6、如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点．（1）证明：、、、四点共圆；（2）证明：

7、．例7、如图，在平行四边形中，为钝角，且，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于、．求证：．例8、如图所示，为的内心，求证：的外心与、、四点共圆.例9、、、三点共线，点在直线外，，，分别为，，的外心．求证：，，，四点共圆.例10、如图，在中，，分别是，的角平分线，是与的交点，若，，，四点共圆，，则的内切圆半径为多少？例11、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、、、四点共圆.例12、如图，，，，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，求线段的长．例13、在的边，，上分别取，，．使得，，又点是的外心．（