(完整版)四点共圆的判定与性质.docx

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1、四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAXPB=PCXPD,贝UA、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PAXPB=PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（割线定

2、理）。8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。若可以判断出OA=OB=OC=OD则A、BC、D四点在以0为圆心OA为半径的圆上。2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。若/A+ZC=180。或/B+ZD=180°则点A、B、C、D四点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若/B=ZCDE贝UA、B、C、D四点共圆证法同上。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这

3、条线的两个端点共圆。若/A=ZD或/ABD=ZACD,贝UA、BC、D四点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。如图2，若/A=ZC=90°,贝UA、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAXPB=PCXPD,贝UA、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PAXPB=PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（割5.4BD1RA/4T)圈1线定理）。理的逆定理）8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆（托勒密定已知四边形ABCD,若ABXCD+BDXAC=ADXBC,贝UA、B、C、D四点共

4、圆。（三）例题药.己知，直3直中，.±B=0J=2.△COD中.点•—尸分别W也E「的中点川CD=QC=J厶曲0二，誌一边、5Cr⑴-如图一若.40、U=点布司一言线上.且厶归。=砂，则△PMV的麻状是AD.哉时Jc=；*aD⑵如超乙若1SC三点在同一育钱匕*且厶曲0=2/证朗ZVMAS34。，并计算庞阪悟「甲含战的式子表示）,-⑶在图2中，固定比如看疇△3口疑点。廡转.宜善写出丹［的最大值「2尸三QD06E0.5图二图三3IB0團:x如图一，在A肿亡中，分别^一与，卫（：沁直径在厶趟亡外作半和半匾］Q,其中q和0：分别術两个丰圆的圆心F是辺肚朋中点，克.0和点三分别兎两个丰圆

5、园弧的中点一"屮⑴连结7Fg：D,DFQ：FQ：E、EF、证明；3步述FO』、4⑵如图二过点人分别作半圆°；和半圆°：的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点0连绪PQ，若ZACB-90DE-5rCE-3,求线段FQff］怅上（3）如图三，过点,4作半同O创切线，交C5的延长録于蔬2过点Q作直线旦的垂线,交&Q的延长线于点止葩血证聊曲是半圆q的切线屮、四点共圆的性质1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。2、圆内接四边形的对角互补。3、圆内接四边形的外角等于内对角。如圏XZC次等腰直角三第形，厶凸为直角，D为Q中点'£为辺M上—动点，丄门巴交弓匚于牙卫X平

6、分上3K交滋2F_=平分厶孔交步于X斗（H求证：△卫DE盟亠（2）求证：Z^CV=45C；卩门）如圏匕当CY丄》时，延长交站于R若朋=见试证明3?时长是方程⑴.r-x-L^O的一根.卩+j