反比例函数综合

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1、反比例函数一、知识讲解1.一般地,函数y=(k是常数,k≠0)叫做反比例函数,x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0.①反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=(k≠0),2.反比例函数的图象和性质k的符号k>0k<0图像的大致位置oyxyxo经过象限第一、三象限第二、四象限性质在每一象限内y随x的增大而减小在每一象限内y随x的增大而增大①当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小;②当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大.3.反比例函数的解析式y=中,只有一

2、个待定系数k,所以通常只需知道图像上的一个点的坐标,就可以确定k的值.从而确定反比例函数的解析式.(因为k=xy)4.的几何含义:反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为.二、例题解析例1(2006,湖南常德)如图所示,已知反比例函数y1=(m≠0)的图像经过点A(-2,1),一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象经过点C(0,3)与点A,且与反比例函数的图像相交于另一点B.(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式;(2)求点B的坐标.

3、【解答】求两个函数的表达式,应先求出函数式中的待定系数m,k,b,求两个函数图像的交点坐标,可联解两函数表达式,得到一组x,y的值,即可交点坐标.(1)∵点A(-2,1)在反比例函数y1=的图像上.∴1=,即m=-2.又A(-2,1),C(0,3)在一次函数y2=kx+b图像上.∴即∴反比例函数与一次函数解析式分别为:y=-与y=x+3.(2)由得x+3=-,即x2+3x+2=0,∴x=-2或x=-1,于是或∴点B的坐标为(-1,2).【点评】求两个函数图像的交点坐标,就是解两个函数解析式组成的方程组,求出的一组解即是一个交点的坐标.例2(20

4、06,成都市)如图,已知反比例函数y=(k<0)的图像经过点A(-,m),过点A作AB⊥x轴于点,且△AOB的面积为.(1)求k和m的值;(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A,并且与x轴相交于点C,求∠ACO的度数为│AO│:│AC│的值.【分析】(1)由A点横坐标可知线段OB的长,再由△AOB的面积易得出AB的长,即m的值,此时可知点A的坐标由点A在反比例函数y=上可求得k的值.(2)由直线y=ax+1过点A易求出a值.进而可知点C的坐标,在Rt△ABC中易求tan∠ACO的值,可知∠ACO的度数,由勾股定理可求得OA,AC的长.【解答

5、】(1)∵S=∴·m·=,∴m=2,又y=过点A(-,2),则2=,∴k=-2(2)∵直线y=ax+1过A(-,2)∴2=-a+1,∴a=,y=+1.当y=0时,x=,∴C(,0),BC=2,又tan∠ACO==,∴∠ACO=30°.在Rt△ABO中,AO==,在Rt△ABC中,AC=2AB=4.∴│AO│:│AC│=:4.三、强化训练一、填空题1.(2006,广安)如图1所示,如果函数y=-x与y=-的图像交于A,B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为点C,则△BOC的面积为_______.图1图2图32.(2006,青岛)某种蓄电池的电压为

6、定值,使用此电源时,电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示,当用电器的定电流为10A时,用电器的可变电阻为______Ω.3.(2005,西宁市)如果反比例函数y=-(x>0)的图像在第一象限,则k_____;写出一个图像在一,二,四象限的一次函数关系式:________.4.(2005,贵州省)反比例函数y=(m为常数)的图像如图3所示,则m的取值范围是_______.5.(2005,威海市)已知双曲线y=经过点(-1,3),如果A(a1,b1),B(a2,b1)两点在该双曲线上,且a1

7、.如图4所示,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2-7x2y1的值等于______.图4图5图67.(2008,福州)如图5所示,在反比例函数y=(x>0)的图像上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3=_______.8.如图6所示,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(-,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A

8、点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是_______.二、选择题9.(2006,绵阳)如图所示,梯形AOB

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