反比例函数综合

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1、反比例函数一、知识讲解1．一般地，函数y=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．①反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0），2.反比例函数的图象和性质k的符号k＞0k＜0图像的大致位置oyxyxo经过象限第一、三象限第二、四象限性质在每一象限内y随x的增大而减小在每一象限内y随x的增大而增大①当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数的解析式y=中，只有一

2、个待定系数k，所以通常只需知道图像上的一个点的坐标，就可以确定k的值．从而确定反比例函数的解析式．（因为k=xy）4.的几何含义：反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.二、例题解析例1（2006，湖南常德）如图所示，已知反比例函数y1=（m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图像相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．

3、【解答】求两个函数的表达式，应先求出函数式中的待定系数m，k，b，求两个函数图像的交点坐标，可联解两函数表达式，得到一组x，y的值，即可交点坐标．（1）∵点A（－2，1）在反比例函数y1=的图像上．∴1=，即m=－2．又A（－2，1），C（0，3）在一次函数y2=kx+b图像上．∴即∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=－与y=x+3．（2）由得x+3=－，即x2+3x+2=0，∴x=－2或x=－1，于是或∴点B的坐标为（－1，2）．【点评】求两个函数图像的交点坐标，就是解两个函数解析式组成的方程组，求出的一组解即是一个交点的坐标．例2（20

4、06，成都市）如图，已知反比例函数y=（k<0）的图像经过点A（－，m），过点A作AB⊥x轴于点，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数为│AO│：│AC│的值．【分析】（1）由A点横坐标可知线段OB的长，再由△AOB的面积易得出AB的长，即m的值，此时可知点A的坐标由点A在反比例函数y=上可求得k的值．（2）由直线y=ax+1过点A易求出a值．进而可知点C的坐标，在Rt△ABC中易求tan∠ACO的值，可知∠ACO的度数，由勾股定理可求得OA，AC的长．【解答

5、】（1）∵S=∴·m·=，∴m=2，又y=过点A（－，2），则2=，∴k=－2（2）∵直线y=ax+1过A（－，2）∴2=－a+1，∴a=，y=+1．当y=0时，x=，∴C（，0），BC=2，又tan∠ACO==，∴∠ACO=30°．在Rt△ABO中，AO==，在Rt△ABC中，AC=2AB=4．∴│AO│：│AC│=：4．三、强化训练一、填空题1．（2006，广安）如图1所示，如果函数y=－x与y=－的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为_______．图1图2图32．（2006，青岛）某种蓄电池的电压为

6、定值，使用此电源时，电流I（A）与可变电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，当用电器的定电流为10A时，用电器的可变电阻为______Ω．3．（2005，西宁市）如果反比例函数y=－（x>0）的图像在第一象限，则k_____；写出一个图像在一，二，四象限的一次函数关系式：________．4．（2005，贵州省）反比例函数y=（m为常数）的图像如图3所示，则m的取值范围是_______．5．（2005，威海市）已知双曲线y=经过点（－1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b1）两点在该双曲线上，且a1

7、．如图4所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于______．图4图5图67．（2008，福州）如图5所示，在反比例函数y=（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=_______．8．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A

8、点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．二、选择题9．（2006，绵阳）如图所示，梯形AOB