2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第2课时定点与定值问题教案理含解析新人教A版20190830329

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1、第2课时　定点与定值问题题型一　定点问题例1(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．(1)解　由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

2、t

3、<

4、2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.15由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．思维升华圆锥曲线中定点

5、问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练1已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值；②若M是椭圆的左

6、顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．(1)解　由题意可得2c＝2，即c＝，设Q，因为四边形ABPQ为平行四边形，

7、PQ

8、＝2n，

9、AB

10、＝a－n，所以2n＝a－n，n＝，则＋＝1，解得b2＝2，a2＝b2＋c2＝4，可得椭圆C的方程为＋＝1.(2)①解　直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，15可得(1＋2k2)x2＝4，解得x＝±，可设M，由E是3x＋3y－2＝0上一点，可设E，E到直线kx－y＝0的距离为d＝，因为△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE⊥MN，

11、OM

12、＝

13、d，即有＝－，(*)＝，(**)由(*)得m＝(k≠1)，代入(**)式，化简整理可得7k2－18k＋8＝0，解得k＝2或.②证明　由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，可得－2＋xN＝－，解得xN＝，yN＝k(xN＋2)＝，即N，设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，即有·＝0，即为·(t－2，－4k)＝0，解得t＝0.故点G是定点，即为原点(0,0)．题型二　定值问题15例2(2018·北京)已

14、知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

15、线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA的方程为y－2＝(x－1)，令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·15＝2.所以＋为定值．思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为