高中数学竞赛系列讲座-人教版

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1、高中数学竞赛系列讲座第二讲　函数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数求自变量取值范围.解-2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2.例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0).解  由若0＜a＜时,x∈[a

2、,1-a];若a＞时,函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).分析 若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1，∴f(x)=x2+3x-1，∴f(x2-1)=(x2-1)2+

3、3(x2-1)-1=x4+x2-3.②换元法 令 x2+1=t，则x2=t-1.由f(x2+1)=x4+5x2+3有f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］     =2·2x［(a

4、x2+bx+c)+2ax+a+b］     =2f(x)+2·2x(2ax+a+b)由f(x+1)-f(x)=2x·x2有2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2，在上式中，令x=0得 2a+2b+c=0；①令x=1得 7a+3b+c=0；②令x=2得 14a+4b+c=0.③由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6，∴     a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例5 对于一切实数x，y

5、，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).解 ∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数(  ).(A)恰有一个 (B)恰有两个  (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零

6、实数解   f(x)+2f=3x.①以换x得  f+2f(x)=  ②由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，∴f(x)= -x.③又由f(x)=f(-x)，将③代入得-x=+x，即    -2x=0，2-x2=0，∴x=±.故应选(B).(4)求函数值例7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，求f［-1］.解 设,则2t+1=,即2t2+2t=55.∴2t5+2t4-53t3-57t+54=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54=2t3+2t2-2t2-57t+54

7、=55t-2t2-57t+54=-2t2-2t+54=-1.∴f()=(-1)1986=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.解 设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，则  y=y1+=k1x+.将x=2，x=3代入y=y1+得∴  y=5x+例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组

8、以上的有理数的对应值.证明 若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，故∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.∵x1y2-x2y1是有理数.∴y2-y1=0，即y1=y2，∴x1y1-x2y1=0.即(