高中数学竞赛系列讲座04

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1、高中数学竞赛系列讲座第四讲指数函数与对数函数　　指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。　　一、指数概念与对数概念：　　指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。　　欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果

2、a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b　　其中a叫做对数的底数，N叫做真数。　　ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。　　二、指数运算与对数运算的性质　　1．指数运算性质主要有3条：　　　　ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1）　　2．对数运算法则（性质）也有3条：　　（1）loga(MN)=logaM+logaN　　（2

3、）logaM/N=logaM-logaN　　（3）logaMn=nlogaM(n∈R)　　　(a>0,a≠1,M>0,N>0)　　3．指数运算与对数运算的关系：　　　　X=alogax；mlogan=nlogam　　4．负数和零没有对数；1的对数是零，即　　　　loga1=0；底的对数是1，即logaa=1　　5．对数换底公式及其推论：　　　换底公式：logaN=logbN/logba　　　推论1：logamNn=(n/m)logaN　　　推论2：　　三、指数函数与对数函数　　函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：　　（1）定义域为全体实

4、数（-∞，+∞）　　（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0　　（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。　　（4）单调性是：当a>1时为增函数；当00,a≠1),　　　　　f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(

5、y)　　函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：　　（1）定义域为正实数（0，+∞）　　（2）值域为全体实数（-∞，+∞）　　（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。　　（4）单调性是：当a>1时是增函数，当00,a≠1)，　　　　f(x·y)

6、=f(x)+f(y),　　　　f(x/y)=f(x)-f(y)　　例1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)　　分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1，　　而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a

7、))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：　　原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500　　说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。　　（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/10

8、01)的值=　　　　　。