高中数学奥林匹克竞赛训练题（04）

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1、数学奥林匹克高中训练题（04）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题09)由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有（B）项．(A)50(B)17(C)16(D)152．(训练题09)已知满足．则的最大值是（D）(A)3(B)10(C)20(D)163．(训练题09)正方体的棱长为，为的中点，为的中点，过的截面面积是（C）(A)(B)(C)(D)4．(训练题09)方程的解的个数是（B）．(A)0(B)1(C)2(D)大于25．(训练题09)设是正整数，，并且能被24整除．那么，这样的的个数为（B）．(A)4(B)5(C)9(D)106．(训练题09)从中取出六个不同的

2、数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数是（D）．(A)(B)(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题09)已知在复平面上对应点分别为，且．则与原点所成的面积等于________．2．(训练题09)设四面体的体积为为棱长的中点，在的延长线上，且，过三点的平面交于．则四面体的体积为________．3．(训练题09)设且．则的最小值为___36_____．4．(训练题09)函数在区间内的最大值的最小值是-3-________．5．(训练题09)对于正整数，它的个位数码用表示，记．则_____7___．6．(训练题09)条直线中恰有条互相平行，而且条直线中没有3条相

3、交于同一点，则这条直线将平面分割成的块数是________．第二试一、(训练题09)（本题满分25分）已知圆的方程为．试在坐标平面上求两点，使下列两条件满足：(1)圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值；(2)，且均为自然数．()二、(训练题09)（本题满分25分）求满足条件的实系数多项式；(1)对于任意的实数，有；(2)存在某一实数，使，其中为的次数．()三、(训练题09)（本题满分35分）正整数的所有约数之和用表示，(比如)．试答下列各问：(1)证明：如果和互质，那么；(2)当是的约数，且，试证是质数，其次，如果是正整数，是质数，试证也是质数；(3)设(为正整数，为奇数)，且．

4、试证存在质数使得．-3-四、(训练题09)（本题满分35分）数列是由两个1，两个3，两个，…，两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为．试求：的值．()-3-