高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.4函数的应用（Ⅱ）学习导航学案新人教B版必修1

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1、3.4函数的应用(II)自主整理1•指数函数型增长的函数模型指数函数y=ax(a>l)经复合对得到的指数型两数，指数型变化较快，例如生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题，就是指数型.指数型增反随底数不同而不同.复利是一•种计算利息的方法，即把前•期的利息和本金加在•起作本金，再计算下-期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.2.对数函数型增长的函数模型对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢.如经济学家马尔萨斯提出的人口增反模型y二yQi,其屮I表示经过的时间，y°表示"0时的人口数，r表示人口

2、的年增长率.到了很多年以后，人口增长的就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幕函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了.3.幕函数型增长的函数模型幕函数y=xn(n>0)经过复合可以得到强函数型函数，其增长变化率也较快.例如球的体积V4随半径R的增大而变化的关系就是需函数的关系，体积是半径的函数V二一nR3.3—随着x的增大，若y=xn(n>0)比起y=ax(a>l)增长速度來，是后者增长得快.高手笔记1.在实际问题中，常常遇到有关平均增t率的问题，如果基础量为平均增2率为r,则对于吋间x的总量y=s(l+r)蔦解决平均增长率的问题，可用

3、此公式建立函数式.2.在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.3.由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式,而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解•用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.4.数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据，根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据Z间的对应关系，这种模拟是粗略的，

4、只能起到估算作用.一般来说，需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图，从图象上观察并选择适当的函数，最后还需要检验.名师解惑1.幕函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？剖析：一般地，对于指数函数y=a(a>1)和幕函数y二x”(n>0),通过探索可以发现，在区间(0,+8)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，Q会小于X11,但由于以的增长快于X，的增长，因此总存在一个xo,当x>x°吋，就会有a>xn.同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幕函数y=xn(n>0),在区间(0,+~)上,随着x的增长，lo«x增长得越来越

5、慢，图彖就像是渐渐地与X轴平行一样，尽管在X的一定变化范围内，log“x可能会大于疋，但是由于log“x的增长慢于X"的增长，因此总存在一个X。，当X>Xo时，就会有logaXl)>y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，尸a《>l)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x"(n>0)的增长速度，而y=logaX(a>l)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个xo,当x>xo时,就会有logaX

6、数学模型有哪些？剖析：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次两数、分段函数、指数函数、对数函数和幕函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型：(1)平均增长率问题：如果原来产值的基础数为《平均增长率为p,则对于时间x的产值或产量y=N(1+p)x.(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为「本利和为y,存期为x,则y二a(1+r)x.(3)根据儿何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.(4)通过观察、实验建立的函

7、数关系，如自由落体的距离公式等.2.解数学应用题应具备哪些能力？剖析：(1)能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合运用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言加以表述.(2)学会审题，题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细、反复阅读，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义•分析已知条件，明确所求结论,把实际问题转化为数学问题.(3)正确建模与解模，在审题的基础上，联想数学知识和方法，恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的儿何图形.解模时要

8、特别注意：所建模型中函数