2018版高中数学第三章基本初等函数ⅰ3.4函数的应用ⅱ学案新人教b版必修1(1)

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1、3．4　函数的应用(Ⅱ)1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理　几类不同增长的函数模型阅读教材P112～P113，完成下列问题．1．三种函数模型的性质　　函数性质　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值的不同而不同2.三种函数增长速度

2、的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)(3)不存在一个实数m，使得当x>m时

3、，1.1x>x100.(　　)【解析】　(1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×[小组合作型]函数模型的增长差异　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)　　　　A．y＝2016xB．y＝x2016C．y＝log2016xD．y＝2016x(2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1

4、226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【精彩点拨】　(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)→→【自主解答】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越

5、来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】　(1)A　(2)y21．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[再练一题]1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)A．y＝exB．y＝1

6、00lnxC．y＝x100D．y＝100·2x【解析】　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.【答案】　A根据函数图象确定函数模型　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图341所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.图341(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2016)，g(2016)的大小．【精彩点拨】　根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．【自主解答】　(1)C1对

7、应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2016)＞g(2016)．又g(2016)＞g(6)，∴f(2016)＞g(2016)＞g(6)＞f(6)．根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随

8、着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.[再练一题]图3422．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图342所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.