线弹性断裂力学原理及应用讨论

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1、线弹性断裂力学原理及应用讨论加州理工学院商兴莲摘要：传统的强度破坏理论不能解释某些高强度低韧性钢的低应力脆断现象，人们发现材料中的缺陷，如裂纹、气泡、渣料等，是材料在低应力下断裂的主要原因，断裂力学理论随之而建立。关键词：裂纹、线弹性、应力集中、应力强度因子一、断裂力学的起源在传统的强度破坏理论中，我们均假设材料（这里讨论金属材料）是完整、连续的，材料受力发生变形，当达到屈服极限时开始塑性变形，塑性变形过程中，当达到强度极限材料发生断裂，这称做正常断裂。但是，早些年的工程界发生了这样一些事故，让传统强度破坏理论出现

2、了危机。上世纪五十年代，美国北极星导弹发动机机壳在传统的强度设计计算检验下合格，却在实验发射时爆炸解体，事故后检测发现，其破坏时应力不到700Mpa（机壳使用钢材强度极限Gs=1400Mpa），破坏应力不到强度极限的一半。这不是偶然，1967年，美国俄亥俄州普莱曾特钢桥发生断裂，桥体分成24块坠入河中,致使46人丧生，经检验，桥的破坏应力不足设计应力的40%。另外,飞机机体、船体、火车车轴等低应力下发生脆断、致使机（船）毁人亡的事故也不罕见。这样的断裂不同于正常断裂，它没有达到强度极限q即发生了破坏。在几次事故后检

3、测中，都反应出一个问题，机壳钢材和大桥的钢材都存在工艺缺陷，即本身存在裂纹、气泡或夹杂着渣料。这就明显不符合传统理论的材料完整连续假设，出现大的偏差也不奇怪。即使采用先进的冶金工艺，材料中的裂纹也不可避免，继而，以材料存在缺陷为出发点的断裂力学应运而生。断裂力学主要研究材料中裂纹对材料强度的影响，以及裂纹的发展规律，确定材料的临界破坏应力等。而线弹性断裂力学是其中最重要的一个部分，它主要适用于一些高强度低韧性钢材的低应力脆断。二、线弹性断裂临界应力的确定德国教授在材料中给出的理论是从能量的角度去定出临界应力：空“型

4、+空^哲dadadada即总势能兀(外力做功W减去克服内力做的功U)大于断裂需要一农+如冬的功S,或者裂纹开展力dada人于抵抗力勿，即发生断裂。其中：“兀(1+h)22S=4°•y0外力做功仅与边界的位移有关，与a无关，则学=0,由-斗半推dadada得临界应力时彳”策爲,其屮化与泊松比v有关，儿为比表面能，较难确定。这里我们使用经过数学推导的应力分布来推导临界应力。1断裂模型的建立这里仅讨论线弹性条件下断裂力学的原理，模型选用一块较大矩形薄钢板，在两侧施加均布力。，裂纹长度为2a,形状呈椭圆型,端口处曲率半径为

5、PO假设：①由于裂纹尺度很小，矩形钢板可以看做无限大板;②因为是薄钢板，裂纹四周呈平面应力状态；③裂纹的开展在平面内；以裂纹端口为坐标原点建立坐标系,以极坐标(r,0)标注端口周围的单元体八的位置，如图一。(TJi型滑开型(b〉III型撕开型图二图一2破坏条件如图二，裂纹的开展有这样三种形式，而放广泛的是I型，即张开型，在平面应力状态下，它的破坏条件是o-vmax>crv3应力分布这里引用一个已知的应力分布：端口附近，竖向正应力分布如下a二心.cos?/l+sin匕・sinOv"r2K，”是应力强度因子；由于r趋向

6、于0,所以r的高次项c(r")可以忽略;当e二o即在x轴上，竖向应力有:发现当r越小，也就是越靠近端口，应力值越大，这就是应力集中现象。我们直接使用传统强度破坏计算，即：6唤=6（2°）»6容易发现当1-0时，应力趋向于无穷大，即存在奇异性。那么无论外加应力＜7多小，材料都会破坏，这不符合实际。事实上，当端口的应力＜7达到",时，端口附近即开始屈服，屈服后发生塑性变形，应力发生重分布，端口将不存在无限大的应力。这里，我们表示出应力强度因子K〃“Timoy©龙厂，求解出应r-＞0力强度因子，应力临界问题就转换成应力强

7、度因子的临界问题，即当KQK皿（应力强度因子临界）时，材料破坏，其中K产E•罷斤是跟材料形状、受力等有关的修正系数，查表得到；K,“与材料性质有关，我们仍旧能发现K,”,的计算相当复杂，需要借助弹塑性理论的成果进行修正（查阅了一些资料，发现都讲得很含糊），K的求解也就是线弹性断裂力学的核心问题了，在工程界，JLJLHie已经有相应的《机表格，依据材料种类、尺寸、裂纹尺寸等，可以查到相应的K•值，但误羌可想而知还是不小的。4工程应用依据以上理论，只要确定了材料的性质、结构尺寸、工作荷载时的应力状态，临界应力和裂纹尺寸

8、之间就存在对应关系了:/2Kmeac=对于预制搭接构件，在已知设计荷载下，可以定出临界应力，从而可以限制材料的裂纹尺寸；对于已知裂纹水平的构件，可以得出临界应力，从而限定工作荷载。三、科学工作者的信念断裂力学理论的诞生很好地解决了存在缺陷的材料的强度计算难题，而缺陷是实际工程中难以避免的。理论总是在实践中得到完善，这有时需要付岀惨痛的工程代价，正是对事故原