抽象函数问题的“原型”解法

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1、抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函

2、数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、——(为常数）2、——=（＞0且≠1）3、——(＞0且≠1)4、——(为常数）5、或－－=(为常数）6、－－=二、“原型”解法

3、例析【例1】设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由想：=2coscos原型：=，为周期函数且2π为它的一个周期。猜测：为周期函数，2π为它的一个周期令=+，=则=0∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。【例1】已知函数满足，若，试求(2011)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4×=π。猜测：为周期函数且周期为4×1=4∵==-∴(+4)=∴是以4为周期的周期函数又∵f(2)=2010∴==-∴【例1】已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。分析与略解：由：

4、想：(+)=+原型：＝（为常数）为奇函数。＜0时为减函数，＞0时为增函数。猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2]设<且，∈R则－>0∴(－)>0∴==＞0∴,∴为R上的单调增函数。令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－∴为R上的奇函数。∴(-1)=-(1)=-2∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4∴-4≤≤2(x∈[-2,1])故在[-2,1]上的值域为[-4，2]【例2】已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=（＞0,≠1），=1≠0。当

5、＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。猜测：为减函数，且当＞0时，0＜＜1。（1）对于一切、∈R，且(0)≠0令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-)＞1又(0)=(-)==1∴=＞1∴0＜＜1（2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且＞1∴，∴f(x)在R上为单调减函数【例1】已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+(-3)≤1，求的范围；（4）试证()=（n∈N）分析与略解：由：想：（、∈R+）原型：（＞0，≠0）猜测

6、：有(1)=0，(16)=2，……（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)在（0，+∞）上单调递增∴∴∈（3，4]（4）∵∴【例1】已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，＜1，(2)=(1)求证：＞0；（2）求证：在（0，+∞）上为单调减函数（3）若=9，试求的值。分析与简证：由，想：原型：（为常数（=）猜测：＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……(1)对任意＞0，=)=≥0假设存在＞0，使=0，则对任意＞0=f(==0，这与已知矛盾故对任意＞0，均有＞0（2

7、）、∈(0,+∞)，且＜，则＞1，∴()＜1，∴即∴在（0，+∞）上为单调减函数。(3)∵(2)=，()=9∴(2)()=1∴(2)=1=f(1)，而在(0，+∞)是单调减函数∴2=1即=综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。