高中数学必修一：抽象函数问题的“原型”解法(苏教版)

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1、学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌

2、握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。[来源:学,科,网]一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、——(为

3、常数）2、——=（＞0且≠1）3、——(＞0且≠1)4、——(为常数）5、或－－=(为常数）6、－－=二、“原型”解法例析[来源:Z+xx+k.Com]【例1】设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。[来源:学_科_网]分析与简证：由[来源:学&科&网]想：=2coscos原型：=，为周期函数且2π为它的一个周期。猜测：为周期函数，2π为它的一个周期令=+，=则=0∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。【例2】已知函数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育

4、·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4×=π。[来源:学科网ZXXK]猜测：为周期函数且周期为4×1=4∵==-∴(+4)=∴是以4为周期的周期函数又∵f(2)=2004∴===-∴f(2005)=- 【例1】已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。分析与略解：由：想：(+)=+原型：＝（为常数）为奇函数。＜0时为减函数，＞0时为增函数。猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2]设<且，∈R则－>0∴(－)>0∴==＞0[

5、来源:Z&xx&k.Com]∴,∴为R上的单调增函数。令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－[来源:学科网ZXXK]∴为R上的奇函数。∴(-1)=-(1)=-2∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4∴-4≤≤2(x∈[-2,1])故在[-2,1]上的值域为[-4，2]【例2】已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=（＞0,≠1），=1≠0。当＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。猜测

6、：为减函数，且当＞0时，0＜＜1。学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com（1）对于一切、∈R，且(0)≠0令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-)＞1又(0)=(-)==1∴=＞1∴0＜＜1[来源:学#科#网Z#X#X#K]（2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且＞1∴，∴f(x)在R上为单调减函数【例1】已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，【例2】（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+(-3)≤1，求的范围；（4）试证()

7、=（n∈N）分析与略解：由：想：（、∈R+）原型：（＞0，≠0）猜测：有(1)=0，(16)=2，……（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)[来源:学科网]在（0，+∞）上单调递增[来源:学科网]∴∴∈（3，4]（4）∵∴【例3】已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，＜1，(2)=(1)求证：＞0；（2）求证：（3）求证：在（0，+∞）上为单调减函数（4）若=9，试求的值。分析与简证：由，想：原型：（为常数（=）猜测：＞0，在（0，+∞）上为

8、单调减函数，……(1)对任意＞0，=)=≥0假设存在