2、间[-3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向.解因为对任意兀，)€R,都有./U+y)=./U)+./(y),于是取x=0,可得夬0)=0,同时设y=-x,得Xx-x)=Ax)+X-x),所以(—%)=o,即y(—兀)=—/U),知函数>u)为奇函数.下面证明它是减函数：任取一3W兀15W3,则兀2_兀1>0,又兀>0时,7(兀)<0,即/(兀2—兀1)<0,y(x2—X])=>(%2)+x—X1)=A^2)—/xi)<0.所以函数沧)在区间[―3,3]-h是减函数.当兀=—3时，函数
3、夬无)取最大值；当x=3时，函数7U)取最小值.—3)=—/(3)=—/U+2)=—笊1)+/(2)]=—[/(1)+/(1)+夬1)]=一3几1)=6；Ax)min=/(3)=3/(1)=—6.评注本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件•这是求解抽象函数问题时常用的方法.二、以指数函数为模型的抽象函数例2设函数/U)的定义域为实数集r,满足条件：存在无1工兀2，使得.心)工.心2)，对任意无和y，有./U+y)=◎)・.")•⑴求几0)；⑵对任意x^r,判断./U)值的正负.分析由
4、已知猜想夬无)是指数函数y=ax(a>0,且oHl)的抽象函数，从而猜想/0)=1且»>0・解⑴将尸0代入/(x+y)=/(x).»,得何=何刃0),于是有金)[1-X0)]=0.若/(X)=0,则对任意兀]工也，有/(兀1)=/(兀2)=0，这与已知题设矛盾，所以y(兀)ho,从而y(o)=i・(2)设x=yH0,则/(2x)=»-Xx)=[/(x)]2>0,又由⑴知应)H0,所以心)>0,由兀为任意实数，知夬兀)>0•故对任意xeR,都有Xx)>0.评注从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出
5、了方向.但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由/%)[1-/(0)]=0,直接得出几0)=1,这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方.三、以对数函数为模型的抽象函数X例3设函数夬兀)是定义域(0,+°°)上的增函数，且£)=/&)—旳0・(1)求夬1)的值;(2)若/6)=1,求不等式住+3)+爪)W2的解集.分析由已知猜想夬兀)是对数函数y=iog(lx(a>0,且aHl)的抽象函数.X解⑴将兀=y=1代入幷)=/U)-旳)，得/(1)=A1)-A1)，所以AD=0.(2)因为人6)=1,
6、所以2=/(6)+人6),于是沧+3)+疋)£2等价于心+3)—/(6)W/⑹一疋)，即x+3)W/(6x),而函数/U)是定义域(0,+®)上的增函数,、+36x+3W6兀,>0,3解得兀上亲，因此满足已知条件的不等式解集为+°°).评注(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若Q<%2,则.心1)今也)”的逆用•利用这个性质可以去掉函数的符号af,从而使问题得以解决.
