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1、1.已知函数⑴若函数φ(x)=f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．解：（Ⅰ），．∵且，∴∴函数的单调递增区间为．（Ⅱ）∵，∴，∴切线的方程为,即,①设直线与曲线相切于点，∵，∴，∴,∴.∴直线也为，即，②由①②得，∴．下证：在区间（1,+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知，在区间上递增．又，，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立．2.设函数．(1)讨论函数在定义域内的单
2、调性；(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．解：⑴．当时，，增区间为，减区间为，．当时，，减区间为．当时，，增区间为，减区间为，．⑵由⑴知，当时，在上单调递减，∴，≤，即≤．∵恒成立，∴＞，即，又，∴．∵，∴，∴≤．3.设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围.解：（1）∵∴由题意得：，即，∴且令得，∵是函数的一个极值点∴，即故与的关系式为.当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调
3、递减，,∴在上的值域为.易知在上是增函数,∴在上的值域为.由于，又∵要存在，使得成立，∴必须且只须解得:.所以，的取值范围为.4.设函数．（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1]使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）解：函数的定义域为，（Ⅰ）设点，当时，，则，，∴解得，故点P的坐标为（Ⅱ）∵∴∴当，或时，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，∵，又，∴，∴，故函数
4、在上的最小值为若对于，使≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*）又，①当时，在上为增函数，与（*）矛盾②当时，，由及得，③当时，在上为减函数，，此时综上，的取值范围是5.设函数，且，其中是自然对数的底数.⑴求与的关系；⑵若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；⑶设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意得而，所以、的关系为.（2）由（1）知，.令，要使在其定义域内单调，只需恒成立.①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，∴在内是单调递减函数，即适合题意；②当＞0时，，∴，只需，即，∴在内为单调递增函数，故适合题意.③当＜0时，，
5、其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.综上所述，的取值范围为.（3）∵在上是减函数，∴时，；时，，即，①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；②当0＜＜1时，由，又由（2）知当时，在上是增函数，∴＜，不合题意；③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，故只需＞，，而，，即＞2，解得＞，综上，的取值范围是.6.已知函数.⑴求函数的单调增区间；⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，
6、请说明理由.解：（Ⅰ）函数的定义域是.由已知得，.ⅰ当时,令,解得;函数在上单调递增ⅱ当时，①当时，即时,令,解得或;函数在和上单调递增②当时，即时,显然，函数在上单调递增；③当时，即时,令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:⑴当时,函数在上单调递增⑵当时,函数在和上单调递增⑶当时,函数在上单调递增；⑷当时,函数在和上单调递增.(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，..曲线在点处的切线斜率，依题意得：.化简可得，即=.设()，上式化为：,,令,.因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立.综上所述，
7、假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”7.已知，函数，．(的图象连续)⑴求的单调区间；⑵若存在属于区间的，且，使，证明：．解：⑴，．令，则．当变化时，，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是．⑵由及的单调性知．从而在区间上的最小值为．又由，，则．所以即所以．8.已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．（1）求的值；（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.⑶=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g(x)的切线的切点坐标为∴
8、，即∴，令h(x)=，∴==0，∴∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h
