导数压轴题双变量问题方法归纳总结教师版.docx

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1、导数应用之双变量问题（一）构造齐次式，换元【例】（2020年河南高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设分别是函数的两个零点，求证：.【解析】（1）；（2），，，因为分别是函数的两个零点，所以，两式相减，得，，要证明，只需证.思路一：因为，只需证.令，即证.令，则，所以函数在上单调递减，，即证.由上述分析可知.【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把转化为的函数，常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.思路二：因为，只需证，设，则，所以函数在上单调递减，，即证.由上述分析可知

2、.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于（或）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明，只需证.即证，由对数平均数易得.【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【类题展示】【四川省2020届高三期末】已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1x2＜a2．【分析】（

3、1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得a，再代入化简不等式x1x2＜a2，设，构造一元函数，利用导数研究函数单调性，最后构造单调性证明不等式.【解析】（1）∵函数，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，∵函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=x-alnx=0有两个不等根，令g（x）=x-alnx，则=，（x＞0），①当a≤0时，得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上不可能有两个零点．②当a＞0时，由g′（x）＞0，解得x＞

4、a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，则g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，要使函数g（x）有两个零点，则g（a）=a-alna＜0，解得a＞e，∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的两个根，则，两式相减，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），即a=，即证x1x2＜，即证=，由x1＜x2，得=t＞1，只需证ln2t-t-，设g（t）=ln2t-t-，则g′（t）==，令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）

5、=0，∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是减函数，∴g（t）＜g（1）=0，即ln2t＜t-2+在（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．【类题展示】（2020·湖北高三期末）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.【解析】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，（ii）若，令得.当时，；当时，，所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为.（2）由（1）知：且.又，∴，由得，.，令，∴，∴，所以在上单调递减.由y的取值范围是

6、，得t的取值范围是，∵，∴，∴，又∵，故a的取值范围是.【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于（或）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.(二)各自构造一元函数【例】（2020·河南高三月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）函数求导得，然后分a≤0和a＞0两种情况分类求解.（2）

7、根据对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等价于f（x）max＜g（x）max，然后分别求最大值求解即可.【详解】（1），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上：当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞），当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.（2），在区间（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在区间（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（

8、x）单调递减，所以g（x）max＝g（3）＝ln3，因为对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）