蹦极问题的数学模型和仿真

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时间:2019-09-19

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1、蹦极问题的数学模型和仿真摘要蹦极(BungeeJumping),也叫机索跳,白话叫笨猪跳,是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上(相当于10层楼)高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上,把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处然后两臂伸开,双腿并拢,头朝下跳下去。绑在跳跃者踝部的橡皮条很长,足以使跳跃者在空中享受几秒钟的“自由落体”。当人体落到离地面一定距离时,橡皮绳被拉开、绷紧、阻止人体继续下落,当到达最低点时橡皮再次弹起,人被拉起,随后,又落下,这样反复多次直到橡皮绳的弹性消失为止,这就是蹦极的全过程。蹦极问题主要涉及参与者的运

2、动状态分析以及整个蹦极系统的安全考虑。本文通过牛顿第二定律构建参与者的运动状态方程,然后在Simulink中搭建蹦极模型并仿真,仿真结果验证了数学模型的正确性。根据这个模型,可以深入理解蹦极运动的一般规律,加深对蹦极系统安全性的领悟,并且可以将这种规律运用在生活的其他方面。关键词数学建模Simulink蹦极12前言蹦极运动作为一种刺激的极限运动,通过蹦极可以体验到前所未有的自由、震撼,这也是蹦极一直吸引着大批参与者的原因。由于这项运动的特殊性,相比于其他运动项目(比如过山车、摩天轮、漂流等),蹦极的危险系数也更大,每年发生的事故也经常见诸各种新闻媒体。蹦极运动中

3、,参与者的运动轨迹比较复杂,整体表现为振幅不断减小的往复运动,最后达到稳定位置,在稳定位置参与者重力等于弹力绳的拉力。为了研究的方便,假设弹力绳一直处于线性拉伸区,也就是服从胡克定律。由于参与者在蹦极时主要是头朝下,肢体运动相对于参与者的整体运动可以忽略,可以把运动中当成一个质点考虑。Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具,是一种基于MATLAB的框图设计环境,是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包,被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建

4、模,它也支持多速率系统,也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型,Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI),这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成,它提供了一种更快捷、直接明了的方式,而且用户可以立即看到系统的仿真结果。本文用来验证数学模型的正确性。分析及推导一、蹦极运动学分析参与者从起跳台出发,离开起跳台后参与基本处于头朝下的状态,然后经过一段时间的往复运动最后达到稳定高度附近,结束蹦极,如图1所示。由于蹦极环境的不同,有的在岸边的悬崖,有的在陆地上,如果在水边,最后参与者在弹力绳自然伸长位置(中间层)附近被拉

5、起,如果在陆地就在地面被拉起。我们假设参与者的起跳位置在,也就是起跳台的位置,以中间层的位置高度为0。如果弹力绳弹力太大,参与者可能降落的最低位置可能达到地面,如果,到达地面的速度的比较快,这会有安全隐患。假设中间层到地面的高度为h。12在参与者蹦极的过程中,主要受到重力、弹力绳的拉力,空气阻力。其中弹力绳处于松弛状态时没有拉力,弹力绳处于拉伸状态时拉力与拉伸长度成正比。空气阻力主要与速度有关。图1蹦极运动示意图假设参与者的位置是x,中间层向下为正。于是参与者初始位置是,地面位置是-h。由于弹力绳没有突破弹力极限,弹力绳一直服从胡可定律。(1)其中表示弹力绳弹力

6、。k表示弹力绳的弹性系数,弹性系数越大,参与在在同样的拉伸长度下受到的拉力越大。假设参与者质量是m,当地的重力加速度是g,则参与者受到的重力是(2)参与受到的空气阻力主要与参与者速度有关,通过查阅相关资料,了解到空气阻力近似满足下面关系式(3)其中,表示空气摩擦系数,可以看出摩擦系数越大,速度越大,则空气阻力越大。假设参与者的加速是a,根据牛顿第二定律,可以得到如下关系式(4)假设参与者初始速度是,则参与的速度和位置满足如下关系12(5)综合公式(1)~(4)得参与在降落的过程中,由于空气阻力的影响,整体的机械能逐渐减小。参与者降落的过程中,参与者的重力势能转换

7、成弹力绳的弹性势能和与空气摩擦的内能。参与者上升的过程中,弹力绳的弹性势能转换成参与者的重力势能和与空气摩擦的内能。由于机械能的逐渐较小,参与每次往复运动下降的最大距离逐渐减小。参与者在多次往复运动后达到一个稳定高度,此时参与者速度为0,重力和弹力绳拉力相等,参与者处于二力平衡状态。一般参与者往复运动幅度很小是,工作人员会拉起参与者解开拉力绳,结束蹦极运动。稳定高度满足如下关系式(6)从蹦极跳系统的数学描述中可得知,此系统为一典型的具有连续状态的非线性系统。设中间层距离地面为50m,即h=50;蹦极者的起始位置-30m,即=-30;蹦极者起始速度为0,即=0。其

8、余参数k=20,a2=a

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