蹦极问题的数学模型和仿真

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1、蹦极问题的数学模型和仿真摘要蹦极(BungeeJumping)，也叫机索跳，白话叫笨猪跳，是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。绑在跳跃者踝部的橡皮条很长，足以使跳跃者在空中享受几秒钟的“自由落体”。当人体落到离地面一定距离时，橡皮绳被拉开、绷紧、阻止人体继续下落，当到达最低点时橡皮再次弹起，人被拉起，随后，又落下，这样反复多次直到橡皮绳的弹性消失为止，这就是蹦极的全过程。蹦极问题主要涉及参与者的运

2、动状态分析以及整个蹦极系统的安全考虑。本文通过牛顿第二定律构建参与者的运动状态方程，然后在Simulink中搭建蹦极模型并仿真，仿真结果验证了数学模型的正确性。根据这个模型，可以深入理解蹦极运动的一般规律，加深对蹦极系统安全性的领悟，并且可以将这种规律运用在生活的其他方面。关键词数学建模Simulink蹦极12前言蹦极运动作为一种刺激的极限运动，通过蹦极可以体验到前所未有的自由、震撼，这也是蹦极一直吸引着大批参与者的原因。由于这项运动的特殊性，相比于其他运动项目(比如过山车、摩天轮、漂流等)，蹦极的危险系数也更大，每年发生的事故也经常见诸各种新闻媒体。蹦极运动中

3、，参与者的运动轨迹比较复杂，整体表现为振幅不断减小的往复运动，最后达到稳定位置，在稳定位置参与者重力等于弹力绳的拉力。为了研究的方便，假设弹力绳一直处于线性拉伸区，也就是服从胡克定律。由于参与者在蹦极时主要是头朝下，肢体运动相对于参与者的整体运动可以忽略，可以把运动中当成一个质点考虑。Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具，是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建

4、模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI)，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。本文用来验证数学模型的正确性。分析及推导一、蹦极运动学分析参与者从起跳台出发，离开起跳台后参与基本处于头朝下的状态，然后经过一段时间的往复运动最后达到稳定高度附近，结束蹦极，如图1所示。由于蹦极环境的不同，有的在岸边的悬崖，有的在陆地上，如果在水边，最后参与者在弹力绳自然伸长位置（中间层）附近被拉

5、起，如果在陆地就在地面被拉起。我们假设参与者的起跳位置在，也就是起跳台的位置，以中间层的位置高度为0。如果弹力绳弹力太大，参与者可能降落的最低位置可能达到地面，如果，到达地面的速度的比较快，这会有安全隐患。假设中间层到地面的高度为h。12在参与者蹦极的过程中，主要受到重力、弹力绳的拉力，空气阻力。其中弹力绳处于松弛状态时没有拉力，弹力绳处于拉伸状态时拉力与拉伸长度成正比。空气阻力主要与速度有关。图1蹦极运动示意图假设参与者的位置是x，中间层向下为正。于是参与者初始位置是，地面位置是-h。由于弹力绳没有突破弹力极限，弹力绳一直服从胡可定律。（1）其中表示弹力绳弹力

6、。k表示弹力绳的弹性系数，弹性系数越大，参与在在同样的拉伸长度下受到的拉力越大。假设参与者质量是m，当地的重力加速度是g，则参与者受到的重力是（2）参与受到的空气阻力主要与参与者速度有关，通过查阅相关资料，了解到空气阻力近似满足下面关系式（3）其中，表示空气摩擦系数，可以看出摩擦系数越大，速度越大，则空气阻力越大。假设参与者的加速是a，根据牛顿第二定律，可以得到如下关系式（4）假设参与者初始速度是，则参与的速度和位置满足如下关系12（5）综合公式（1）~（4）得参与在降落的过程中，由于空气阻力的影响，整体的机械能逐渐减小。参与者降落的过程中，参与者的重力势能转换

7、成弹力绳的弹性势能和与空气摩擦的内能。参与者上升的过程中，弹力绳的弹性势能转换成参与者的重力势能和与空气摩擦的内能。由于机械能的逐渐较小，参与每次往复运动下降的最大距离逐渐减小。参与者在多次往复运动后达到一个稳定高度，此时参与者速度为0，重力和弹力绳拉力相等，参与者处于二力平衡状态。一般参与者往复运动幅度很小是，工作人员会拉起参与者解开拉力绳，结束蹦极运动。稳定高度满足如下关系式（6）从蹦极跳系统的数学描述中可得知，此系统为一典型的具有连续状态的非线性系统。设中间层距离地面为50m，即h=50;蹦极者的起始位置－30m，即=-30;蹦极者起始速度为0，即=0。其

8、余参数k＝20，a2＝a